Probabilités. Jouons aux dés.

Exercice du concours général 2009

Je joue avec 4 dés à 20 faces. Chacun de ces dés, dont la forme est un icosaèdre, a ses faces numérotées de 1 à 20. Lorsqu'on le lance, chaque face apparaît sur le dessus avec la même probabilité de .

Lorsque, parmi les 4 dés, une face apparaît au moins deux fois, je marque le nombre de points correspondant à cette face. Ainsi :

• avec la combinaison 3-4-12-16, je ne marque rien;
• avec la combinaison 2-8-11-11, je marque 11 points;
• avec la combinaison 4-9-9-9, je marque 9 points;
• avec la combinaison 7-7-14-14, je marque 21 points;
• avec la combinaison 2-2-2-2, je marque 2 points.

 

1. Quelle est la probabilité que je ne marque rien ?
2. Soit a compris entre 1 et 20. Déterminer pour tout k ≤ 4 la probabilité d'avoir exactement k nombres a parmi les dés lancés.
3. Pour tout a on note X_a la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a au moins deux dés égaux à a parmi les quatre du lancer, et 0 sinon.
Préciser la loi de X_a et exprimer le gain G à l'aide de ces variables.
Combien de points puis-je espérer en moyenne ?
4. Quelle est la probabilité que je marque exactement 8 points ?

On suppose à partir de maintenant qu'après avoir lancé les 4 dés, je sois autorisé à relancer entre 0 et 4 dés pour améliorer mon score.

5. J'ai obtebnu 11-7-2-2. J'hésite entre tout relancer, garder le 11 et garder les deux 2. Que dois-je faire ?
6. On suppose que j'ai obtenu 4 dés différents a₁ > a₂ > a₃ > a₄. Quels dés dois-je relancer ?

Exercices Wims : fonction exponentielle

• Dérivée avec exponentielle (1)
• Dérivée avec exponentielle (2)
• Simplification d'écriture (1)
• Simplification d'écriture (2)
• Simplification d'écriture (3)
• Simplification d'écriture (4)
• Equations avec exponentielles (1)
• Equations avec exponentielles (2)
• Inéquations avec exponentielles (1)
• Inéquations avec exponentielles (2)
• Choix d'une représentation graphique
• Correspondance de représentations graphiques
• Limite avec exponentielle

Source de la feuille wims ici...

Exercices Wims : probabilités

• Pourcentages et arbres
• Pourcentages et tableaux
• Probabilités (1) : évènements incompatibles
• Probabilités (2) : intersection, réunion
• Equiprobabilité (1)
• Equiprobabilité (2)
• Equiprobabilité (3)
• Probabilité conditionnelle 1 (définition et indépendance)
• Probabilité conditionnelle 2 (définition et indépendance)
• Probabilité conditionnelle et arbre
• Probabilité conditionnelle et tableaux croisés

Source de la feuille wims ici...

Etude d'une fonction avec exponentielle

Partie A

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = 1 - e^2x - 2xe^2x.

a) Déterminer les limites de g en + ∞ et en - ∞.

b) Dresser le tableau de variation de g sur ℝ.

c) Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).

Partie B

Soit f  la fonction définie sur ℝ par f (x) = x + 3 - xe^2x et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal : unité 2cm.

a) Déterminer les limites de f  en + ∞ et en - ∞.

b) En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f.

c) Montrer que la droite D d'équation y = x+3 est asymptote à C en - ∞, puis étudier la position relative de C et D.

d) Tracer la courbe C et la droite D.

La correction se trouve ici...