Etude de fonction avec exponentielle

Partie A

On considère g la fonction définie sur ℝ par g(x) = e^x+ x - 1.
1. Calculer la dérivée de g et en déduire les variations de la fonction g.
2. Calculer les limites de g en -∞ et en +∞.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
4. Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).

Partie B

La fonction f  est définie sur ℝ par .
1. Déterminer . Que peut on en déduire au voisinage de -∞ ?
On notera ∆' l'asymptote à C_f  en -∞.
2. Déterminer .
3. Montrer, que pour tout réel x, .
4. En déduire que la droite ∆ d'équation y = x-2 est asymptote oblique à C_f en +∞.
5. Montrer que, pour tout réel x, .
6. En vous servant de la partie A, déterminer le signe de f '(x).
7. En déduire les variations de f  et dresser son tableau de variations.
8. Déterminer la position de C_f  par rapport à ses asymptotes.
9. Tracer ∆, ∆' et C_f  dans un repère orthonormal.

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