Sommes d'entiers
Somme des entiers naturels de 1 à n
ou 
Preuves sans mots
ou
Somme des premiers nombres impairs
ou 
Preuve sans mots
Somme des carrés des entiers naturels de 1 à n
ou 
Preuves sans mots

ou

Somme des cubes des entiers naturels de 1 à n
ou 
Preuves sans mots

ou

Problème 1
On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :
1
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| 1
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3
| 5
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| 8
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7
| 9
| 11
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| 27
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13
| 15
| 17
| 19
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| 64
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21
| 23
| 25
| 27
| 29
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| 125
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On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.
Enoncer cette propriété et la démontrer.
Problème 2
On calcule des sommes de puissances des entiers naturels de 1 à n en utilisant des polynômes.
1) Somme des entiers de 1 à n
a) Soit P(x) = ax2 + bx + c un polynôme du second degré.
Déterminer les coefficients a, b et c pour que P(x) - P(x - 1) = x.
b) On considère alors la suite d'égalités :
P(n) - P(n - 1) = n
P(n - 1) - P(n - 2) = n-1
P(n - 2) - P(n - 3) = n-2
...
P(1) - P(0) = 1
Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?
En déduire la formule donnant Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n.
2) Somme des carrés des entiers de 1 à n
a) Soit Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme de degré 3.
Déterminer les coefficients a, b, c et d pour que Q(x) - Q(x - 1) = x2.
b) On considère alors la suite d'égalités :
Q(n) - Q(n - 1) = n2
Q(n - 1) - Q(n - 2) = (n-1)2
Q(n - 2) - Q(n - 3) = (n-2)2
...
Q(1) - Q(0) = 12
Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?
En déduire la formule donnant Cn = 12 + 22 + 32 + ... + n2.
3) Somme des cubes des entiers de 1 à n
Retrouver la formule donnant Dn = 13 + 23 + 33 + ... + n3.
Sources et compléments :
1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur Google-Livres.