Exomathiques

vendredi 16 octobre 2009

Méthode d'Euler

Il arrive souvent en physique qu'on cherche une fonction à partir de renseignements obtenus sur sa dérivée; en effet lorsqu'une fonction dépend du temps, sa dérivée représente la vitesse à laquelle les valeurs de la fonction évoluent. De telles situations se traduisent mathématiquement par des équations différentielles, c'est à dire des équations dans lesquelles l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction dérivable et qui font intervenir la dérivée de la fonction inconnue. Dans une équation différentielle on représente souvent la fonction inconnue par la lettre y et sa dérivée par y'.

Voici un certain nombre d'équations différentielles :

- y'=\frac1 x : on cherche une fonction dérivable f  qui vérifie f'(x)=\frac 1 x

- yy'=1 : on cherche une fonction dérivable f  qui vérifie f(x).f'(x)=1

- y'=\sqrt{1-y^2}, y'=x, y'=y, ...

Pour qu'une équation différentielle admette une solution unique, elle est accompagnée d'une condition initiale qui donne l'image y0 d'un réel x0.

La méthode d'Euler permet de calculer des valeurs approchées des images de certains réels par la fonction f  solution d'une équation différentielle. Elle consiste à appliquer plusieurs fois l'approximation affine f(a+h) \approx f(a)+hf'(a).


Un exemple

On considère l'équation différentielle y'=\sqrt x et la condition initiale y(1) = 1.

On cherche donc une fonction f  dérivable telle que f'(x)=\sqrt x et f(1)=1.

Nous choisissons un pas h de 0,1 et nous utilisons l'approximation affine de f  pour calculer une valeur approchée de f (1,1) :

f(1+0,1) \approx f(1)+0,1 \times f'(1), soit f(1,1) \approx 1 + 0,1 \times \sqrt 1 et finalement f(1,1) \approx 1,1.

En partant de la valeur obtenue pour f (1,1), on peut chercher de la même façon une valeur approchée de f (1,2) :

f(1,1+0,1) \approx f(1,1)+0,1 \times \sqrt{1,1}, soit f(1,2) \approx 1,205.

On peut calculer ainsi, de proche en proche f (1,3), f (1,4), f (1,5), etc...

f(1,2+0,1) \approx f(1,2)+0,1 \times \sqrt{1,2}, soit f(1,3) \approx 1,315

Evidemment, il s'agit de calculs approchés, et même doublement approchés : ils utilisent d'une part l'approximation affine de f et d'autre part des valeurs approchées de f. Cependant, les résultats calculés permettent d'obtenir une représentation graphique satisfaisante autour du point fourni par la condition initiale.

On peut faire les deux remarques suivantes :

- plus on s'éloigne du point initial et moins les résultats sont précis

- plus le pas choisi est petit et plus les résultats sont précis.

Ecriture sous forme de suites

On considère une équation différentielle de la forme y' = F(x,y) avec y(x0)=y0. On admet qu'une solution f  existe et on se propose de calculer des valeurs approchées des nombres f(x0+nh) en utilisant la méthode d'Euler avec le pas h.

On définit la suite xn qui est la suite arithmétique de premier terme x0 raison h et la suite yn des approximations de f (xn). (xn, yn) sont les coordonnées des points Mn qui permettent de construire la représentation graphique de f.

On sait que xn+1=xn+h et que xn = x0+nh.

Pour la suite yn, rappelons que la fonction f  étant inconnue (on sait seulement qu'elle est solution de l'équation différentielle), on devra se contenter de calculer des valeurs approchées en utilisant l'approximation affine de f . Ainsi comme y_{n+1}=f(x_{n+1})=f(x_n+h) et f(x_n+h) \approx f(x_n)+hf'(x_n), on obtient y_{n+1} \approx y_n+hF(x_n,y_n) et on utilise cette relation pour calculer des valeurs approchées des termes de la suite yn.

Si on reprend l'exemple précédent avec l'équation différentielle définie par y'=\sqrt x et la condition initiale y(1) = 1, l'application de la méthode d'Euler amène à considérer la suite arithmétique xn de premier terme x0=1 et de raison h=0,1, puis la suite yn définie par y_0=1 et y_{n+1}=y_n+0,1\sqrt{x_n}=y_n+0,1\sqrt{1+0,1n}.

L'utilisation de ces suites permet d'automatiser les calculs avec un tableur ou une calculatrice.


Exercice

Un ballon sonde en caoutchouc, gonflé à l'hélium, s'élève dans l'athmosphère.

La vitesse ascentionnelle v du ballon est une fonction dérivable du temps; elle vérifie l'équation différentielle (E) :     v'(t) = 13,6 – 0,53 [v(t)]2

Le temps t est exprimé en secondes (s) et la vitesse v en mètres par seconde (m.s-1).

La vitesse initiale du ballon est considérée comme nulle, on a donc v(0) = 0.

1) Appliquer la méthode d'Euler à l'équation différentielle (E) afin de calculer des valeurs approchées de la vitesse du ballon entre 0s et 1s avec un pas de 0,1s. On arrondira les vitesses à 0,1 près. Reproduire et compléter le tableau suivant :

temps t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
vitesse v
0











2) Représenter graphiquement v en fonction de t.
3) Quelle semble être la vitesse limite du ballon ?