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Exercice 1

Une entreprise qui exploite un parc de taxis a relevé les distances parcourues en milliers de km par les taxis avant leur remplacement.

Distance parcourue	[80;85[	[85;90[	[90;95[	[95;100[	[100;105[	[105;110[	[110;115[	[115;120[
Nombre de taxis	6	12	16	21	34	20	7	4

1) Recopier ce tableau et le compléter par une ligne donnant les effectifs cumulés croissants pour les taxis.
2) Calculer la distance moyenne parcourue par un taxi de cette entreprise.
3) Quelle est la classe médiane pour les distances parcourues ? Justifier la réponse.
4) Calculer le pourcentage de taxis qui ont parcouru plus de 100 milliers de km, puis le pourcentage de taxis qui ont parcouru moins de 105 milliers de km ?  Pourquoi ces résultats confirment-ils ce qui a été trouvé à la question 3 ?
5) Construire le polygone des effectifs cumulés, puis déterminer graphiquement la médiane de la distance parcourue. Retrouver ce résultat par un calcul.

Exercice 2

1) ABC est un triangle.
A l'extérieur de ABC construire les triangles équilatéraux ABE et ACF.
Démontrer que les triangles AEC et AFB sont isométriques. Qu'en déduit-on pour EC et BF ?

2) ABCD est un carré et E est un point du côté [AB].
La perpendiculaire à (EC) passant par C coupe la droite (AD) en F.
Démontrer que les triangles EBC et FDC sont isométriques. Qu'en déduit-on pour le triangle ECF ?


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devoir-geom-esp

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Exercice 1

1) Reproduire le cube ABCDEFGH représenté sur la figure. Ajouter le point I milieu de [AD] et le point J de [AE] vérifiant .

2) Déterminer l'intersection du plan (FIJ) avec les faces ABFE et ADHE.

3) Construire le point K de [CG] tel que [FK] soit l'intersection du plan (FIJ) avec la face BCGF. Quelle est la propriété utilisée pour construire K ?

4) Construire le point L intersection du plan (FIJ) avec l'arête [DC]. Justifier la construction.

5) Quelle est l'intersection du plan (FIJ) avec le cube ABCDEFGH ? La représenter en couleur.

6) Les droites (IL) et (JF) sont sécantes en un point P. Démontrer que les points A, B et P sont alignés.

7) Quelle est la longueur du segment [PA] si l'arête du cube ABCDEFGH mesure 6cm ?

Exercice 2

SABCD est une pyramide régulière à base carrée; ABCD est un carré de centre O, les triangles SAB, SBC, SCD et SDA sont équilatéraux.

1) Représenter cette pyramide en perspective cavalière.

2) Le côté du carré ABCD mesure 6cm. Déterminer AC, SA et SC. Que peut-on en déduire sur la nature du triangle SAC ?

3) Démontrer que la droite (SO) est perpendiculaire au plan (ABC), puis calculer SO et le volume de la pyramide.

4) On appelle I le milieu de [AB]. Que peut-on dire du triangle SOI ? Déterminer les longueurs des 3 côtés de SOI, puis une mesure de l'angle SIO à 1° près.

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Exercice 1

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par

f(x) = x² et g(x) = 2x + 1.

1- Représenter graphiquement les fonctions f et g dans un même repère.

2- Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x).

3- Pour résoudre algébriquement l'équation f(x) = g(x) :

    a) Développer

    b) Factoriser

    c) En déduire la ou les solutions de l'équation f(x) = g(x).

    d) Vérifier que le résultat précédent concorde avec le résultat obtenu graphiquement.

4- Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < g(x).

Exercice 2

La figure représente le cube ABCDEFGH.

1- Reproduire la figure sur la copie, puis ajouter le point K de l'arête [BC] tel que

.

2- Quelle est l'intersection du plan (FKG) avec le plan (ABE) ? Justifier.

3- Tracer la droite (KG). Elle coupe le plan (ABE) en un point appelé L. Construire ce point L. Justifier.

4- Que peut-on dire des droites (KG) et (AD) ? Justifier.

5- Construire l'intersection des plans (DKF) et (DHE). Justifier la construction en citant un théorème du cours.

6- Le triangle AKF est-il isocèle, rectangle, équilatéral ou quelconque ? Justifier.

Exercice 3

On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de [AB] et G le centre de gravité du triangle ACD.

Faire la figure, puis construire le point E intersection de la droite (IG) avec le plan (BCD). Justifier.

ds06.odt

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Exercice 1

1- Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 7 – 2x.

a) Montrer que f est une fonction affine en donnant son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

b) Quel est le sens de variation de f ?

Calculer . Sachant que < , que peut-on en déduire pour ?

c) Etudier le signe de f (x) en fonction de x.

2- Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = .

a) Montrer que g est une fonction affine en donnant son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

b) Quel est le sens de variation de g ?

Calculer g(3). Sachant que  > 3, que peut-on en déduire pour g() ?

c) Etudier le signe de g(x) en fonction de x.

3- a) Construire les représentations graphiques des fonctions f et g, définies précédemment, dans un même graphique.

b) Résoudre l'équation f (x) = g(x) d'abord graphiquement, puis algébriquement.

c) Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation f (x)  g(x). Justifier.

Exercice 2

n étant un entier naturel strictement positif, on pose A = .

1- Calculer lorsque n=1, puis lorsque n=2 et n=3.

En déduire à chaque fois l'ordre de A et .

2- Exprimer en fonction de n, et indiquer le signe du résultat.

Que peut-on en déduire ?

ds05.odt

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Exercice 1

On considère la fonction v définie par v(x) = sur ]0; +∞[.

1- Calculer v(20) et v(60).

2- Résoudre l'équation v(x) = 24.

3- Voici la représentation graphique de la fonction v.

Retrouver graphiquement les résultats des questions 1 et 2.

4- Il semble, d'après la représentation graphique, que v(x) ne peut pas dépasser 40.

Calculer 40 – v(x) et déterminer son signe. Est-ce que cela confirme l'observation précédente ?

Exercice 2

Le quadrilatère ABCD de la figure a les propriétés suivantes :

• AB = 8 cm et BC = 6 cm

• = 90° et = 60°

• DA = DC

1- Calculer AC.

2- Démontrer que le triangle ACD est équilatéral.

3- Dans le triangle ACD, on appelle H le pied de la hauteur issue de A. Démontrer que AH = .

4- Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.

Exercice 3

a et b désignent deux réels strictement positifs, A = et B = .

1- Pour cette question, a = 6 et b = 8. Calculer A – B, en déduire l'ordre de A et B ?

2- Pour cette question, a = 5 et b = 4. Calculer A – B, en déduire l'ordre de A et B ?

3- On se place dans le cas général où a et b désignent deux réels strictement positifs.

Calculer A – B, et montrer que A – B a le même signe que a – b.

Que peut-on en déduire sur l'ordre de A et B ?

Est-ce que ce résultat concorde avec ceux obtenus aux questions 1 et 2 ?

4- Sans utiliser de calculatrice, comparer et .

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Exercice 1

Soit ABC un triangle.

a) Construire le point M tel que .

b) Le point M est-il le milieu du segment [BC] ? Justifier.

Exercice 2

Dans le plan muni du repère orthonormal , on considère les trois points A(–1,2), B(1,1) et C(5, –1).

a) Calculer les coordonnées des vecteurs et .

b) Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = (2x – 1)² – 4.

a) Développer, réduire et ordonner f (x).

b) Factoriser f (x).

c) Calculer et .

d) La figure donne la représentation graphique de f dans un repère orthogonal.

- Retrouver graphiquement les résultats de la question c).

- Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 0.

- Retrouver algébriquement ce résultat en utilisant la forme factorisée de f (x).

e) Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 2. Les solutions trouvées sont-elles exactes ?

Trouver algébriquement les solutions exactes.

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Pour chacune des 10 expressions proposées ci-dessous :

a) Développer, réduire et ordonner.

b) Factoriser

A = (3x + 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 1)

B = (2x – 1)² + (2x – 1)(x + 4)

C = 3x(5x – 4) – 2(5x – 4)

D = (x + 1)(x + 2) – (2x + 3)(x + 2)

E = (2x + 1)² – (x – 4)²

F = x² – 4 – (x + 2)(2x – 3)

G = (x + 3)² – (2x + 6)(x – 1)

H = 16 – (x – 5)²

K = 7x(x – 2) + 3(5x – 10)

L = (2x + 5)² – 9x²

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Exercice 1

Dans le plan muni du repère orthonormalon donne les points A(–1, 3), B(5, 4) et C(4, –2).

1- Construire le triangle ABC. S'agit-il d'un triangle équilatéral ? S'agit-il d'un triangle isocèle ?

Justifier la réponse par un calcul. 2- Construire le point D tel que.

Calculer les coordonnées du point D.

3- Sans calcul supplémentaire, démontrer que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

4- On appelle I le point d'intersection des droites (AC) et (BD).

Calculer les coordonnées de I.

5- Calculer l'aire du triangle ABC.

Exercice 2

Dans le plan muni du repère orthonormalon donne les points E(–5, –1), F(–2, 0) et G(7, 3). 1- Calculer les coordonnées des vecteurs,et.

Vérifier que .

2- Déterminer le réel k tel que .

3- Que peut-on déduire du résultat précédent ? 4- Calculer les longueurs EF, FG et EG. Vérifier que EF + FG = EG. 5- Si on change la position du point F dans le plan, les deux égalités

et EF + FG = EG restent-elles exactes ?

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Exercice 1

Développer et réduire les produits suivants :

A =

B =

Exercice 2

Réduire les sommes vectorielles suivantes :

a)

b)

Exercice 3

On considère un triangle ABC.

a) Construire le point D tel que , puis le point E tel que .

b) Démontrer que.

Que peut-on en déduire pour les vecteurs et , puis pour les droites (CE) et (AB) ?

Exercice 4

On considère un triangle OAB.

On appelle E le milieu de [OA] et F le point tel que .

a) Faire une figure. Que remarque-t-on à propos des points E, B et F ?

Déterminer graphiquement le réel k tel que

b) Démontrer que . c) Exprimer le vecteuren fonction des vecteurs et. d) Démontrer l'égalitéconjecturée dans la question a).

Exercice 5

On se donne un segment [AB].

Construire le point G tel que