Géométrie avec Geogebra

Exercice 1

On considère un quadrilatère ABCD. On appelle E, F, G et H les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. On s'intéresse au quadrilatère EFGH.

1) Réaliser la figure avec le logiciel Geogebra. Déplacer les points A, B, C et D. Que peut-on dire du quadrilatère EFGH ?

2) On se propose de démontrer la propriété du quadrilatère EFGH.

a) En observant le triangle ABC et les points E et F, démontrer que (EF)//(AC) en citant le théorème utilisé.

b) Démontrer ensuite que (GH)//(AC). Que peut-on en déduire pour (EF) et (GH) ?

c) Démontrer, en utilisant une méthode similaire, que (EH)//(FG).

d) Conclure en indiquant la nature du quadrilatère EFGH.

3) Sur la partie gauche de l'écran, le logiciel Geogebra affiche l'aire de ABCD (appelée poly1) et l'aire de EFGH (appelée poly2).

Recopie dans un tableau les aires de ces deux quadrilatères pour 5 positions différentes des points A, B, C et D.

Quelle relation peut-on remarquer entre l'aire de ABCD et celle de EFGH ?

Comment expliquer cette propriété ?

Exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthonormal on considère les points A(-4,4), B(-3,-3) et C(5,1).

On s'intéresse au triangle ABC.

1) Construire la figure en utilisant le logiciel Geogebra. (faire apparaître les axes et un quadrillage pour placer les 3 points)

Sur la partie gauche de l'écran on peut lire les longueurs des 3 côtés, ainsi que l'aire de ABC.

Indiquer ces valeurs.

2) Tracer la hauteur de ABC issue de A. Elle coupe [BC] en H. Quelles sont les coordonnées de H indiquées par Geogebra ?

3) On se propose de vérifier que ces coordonnées sont exactes, c'est à dire que H est sur [BC] et que (AH)⊥(BC).

a) Calculer BH, HC et BC. Vérifier que BC=BH+HC. Qu'en déduit-on ?

b) Calculer AH et AB. Vérifier que AB²=AH²+HB². Qu'en déduit-on ?

4) En utilisant les résultats précédents calculer l'aire de ABC. Le résultat concorde-t-il avec celui donné par Geogebra ?

5) Construire l'angle avec Geogebra et lire la mesure en degrés indiquée par le logiciel. Retrouver ce résultat par calcul en utilisant la tangente de l'angle.