pb-minimum-outils-en-ligne

Un problème de minimum à résoudre avec des outils informatiques en ligne

Source : activité 6 p. 246, Hyperbole 2nde

Enoncé du problème

ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=1.
M est un point du segment [BC] tel que BM=x.
On note O le point d'intersection des droites (AM) et (BD); la parallèle à (AB) passant par O coupe (AD) et (BC) respectivement en H et H'.
Pour quelle position du point M la somme des aires des triangles AOD et BOM est-elle minimale ?

A - Figure avec Geogebra et première conjecture

Cette partie est traitée avec le logiciel Geogebra à démarrer à partir de la page Geogebra WebStart.

1- Construction de la figure

1) Créer les points A, B, C et D en donnant leurs coordonnées. On choisira B(0,0) et D(1,2). Quelles doivent être les coordonnées de A et C ? Rendre ces 4 points fixes.
2) Créer les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On peut supprimer l'affichage du repère et zoomer.
3) Créer le point M sur [BC], puis le segment BM qu'on renommera xx.
4) Construire les points O, H et H', puis les triangles AOD et BOM.
5) Définir la variable S comme somme des aires de AOD et BOM.

2- Observation et conjecture

Déplacer le point M sur [BC] et observer les variations de S.
Quelles est la valeur minimale de S ? Pour quelle valeur de xx est-elle obtenue ?
En choisissant l'option d'affichage de 5 décimales on peut donner des réponses avec 5 décimales.

B - Détermination d'une fonction

Cette partie contient des démonstrations à faire sur la copie.
On appelle f la fonction qui à tout réel x de [0,1] associe la somme des aires de AOD et BOM, BM étant égal à x.
On se propose de trouver une expression de f(x) en fonction de x.
1) Montrer que les triangles AOD et BOM sont semblables. Quel est le rapport de similitude faisant passer de AOD à BOM ?
2) Expliquer pourquoi OH'=xOH et OH+OH'=2.
En déduire OH, puis l'aire de AOD et celle de BOM en fonction de x.
3) Montrer que .

C - Etude graphique de la fonction f

Cette partie utilise la calculatrice de fonction de WIMS.
1) Introduire la fonction f en écrivant : (x^2+1)/(x+1)
2) Cocher la ligne "La courbe de f, dans l'intervalle ..." et donner [0,1] comme intervalle.
3) Cocher la ligne "Recherche de racines et/ou extréma de f(x)..." et donner encore [0,1] comme intervalle.
4) Cliquer sur le bouton "Montrer"
5) Lorsque la courbe apparaît, cliquer sur le minimum de la courbe.
Quel est le minimum de f indiqué ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que les résultats confirment ceux obtenus avec Geogebra ?

D - Détermination algébrique du minimum de f

Cette partie utilise XCas en ligne pour effectuer des calculs algébriques. (il est recommandé d'utiliser le navigateur Firefox, la page Xcas en ligne utilise des possibilités que d'autres navigateurs ne savent pas encore exploiter)
Dans XCas nous activons la console symbolisée par un écran et l'Assistant d'Xcas en ligne symbolisé par une bouée.

1) En utilisant la partie Analyse de l'assistant, définir la fonction f en écrivant f(x) comme nom et (x^2+1)/(x+1) comme expression. Cliquer sur le bouton "Ecrire sans calculer".
L'assistant inscrit :
f(x):=(x^2+1)/(x+1)
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider.
2) Vérifier que .
Pour effectuer cette vérification il suffit de factoriser le premier membre. On choisit donc la partie Algèbre de l'assistant et l'instruction Factoriser.
Comme expression à factoriser on inscrit f(x)-2*(sqrt(2)-1). La fonction racine carrée est appelée sqrt (de square root).
L'assistant inscrit :
factor(f(x)-2*(sqrt(2)-1))
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider. On obtient le résultat attendu.
3) Déduire du résultat précédent que pour tout x de [0,1], .
En utilisant XCas, vérifier que .
4) Quelle est la valeur exacte du minimum de f ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que cela confirme les résultats obtenus dans les parties précédentes ?

La droite de Mayer

(d'après Maths Repères 2nde)

Une entreprise souhaite faire des prévisions sur son chiffre d'affaires. Les chiffres d'affaires réalisés depuis la création de l'entreprise sont donnés par le tableau suivant :

Année xi	1	2	3	4	5	6	7	8
Chiffre d'affaires yi en millions d'euros	16	19	22	23	24	26	27	30

1) Dans un repère du plan représenter les 8 points M_i(x_i, y_i) définis par le tableau.

Les points sont plus ou moins alignés. Le but est de trouver une droite qui soit la plus proche possible de ces points; on pourra alors estimer que les valeurs des chiffres d'affaires futurs seront proches de cette droite et obtenir ainsi des prévisions.
La méthode proposée par le physicien et astronome Johann Tobias Mayer (1723 - 1762) consiste à regrouper les 4 premiers points et les quatre derniers points et de remplacer chaque groupe par un unique point moyen. La droite définie par ces deux points moyens est la droite de Mayer.

2) Calculer les coordonnées du point G₁ en prenant les moyennes des coordonnées des 4 premiers points du tableau.
Calculer, de même, les coordonnées du point G₂ en prenant les moyennes des coordonnées des 4 derniers points du tableau.

3) Placer les points G₁ et G₂ sur le graphique, puis tracer la droite (G₁G₂), qui est la droite de Mayer. On admet qu'il s'agit d'une assez bonne modélisation du chiffre d'affaires.
En utilisant le graphique :
a) Donner les prévisions du chiffre d'affaires pour les années 9 et 10.
b) Si l'évolution du chiffre d'affaires continue à suivre ce modèle, en quelle année l'entreprise atteindra-t-elle un chiffre d'affaires de 45 millions d'euros ?

4) Déterminer une équation de la droite (G₁G₂). Retrouver par le calcul les réponses aux questions 3a et 3b.

Droites et équations

Equation d'une droite

A - Droites et équations

1- Droite définie par une équation

Le plan est muni d'un repère .

Soient a et b deux réels.

L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite.

Celle-ci est la représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b, on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b.

a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.

Réciproquement :

• toute droite du plan qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, admet une équation du type y = ax + b.

• les droites parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation du type x = c.

Exemples :

Tracer les droites :

a) D₁ d'équation y = 2x – 3

b) D₂ d'équation y = 4

c) D₃ d'équation x = 2.

2- Propriétés

1- Si la droite D d'équation y = ax+b passe par les points A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B), alors le coefficient directeur a est égal à .

2- La droite D d'équation y = ax+b est parallèle au vecteur qui est appelé vecteur directeur de la droite.

3- Les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, donc a = a'.

4- Dans un repère orthonormal, les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, donc aa' = -1.

B - Recherche de l'équation d'une droite

Pour obtenir l'équation d'une droite :

1- on détermine son coefficient directeur en utilisant une propriété géométrique (deux points de la droite, parallélisme, orthogonalité)

2- on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant un des points de la droite.

1- Exemple 1

Déterminer l'équation de la droite D passant par A(-2; 1) et B(3; -1).

Soit y = ax+b l'équation de D.

Le coefficient directeur de D est a = = .

Comme D passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D est donc .

2- Exemple 2

Le plan est muni d'un repère orthnormal.

On considère le point A(-3; -2) et la droite D d'équation y = 2x – 1.

Déterminer l'équation de la droite D' perpendiculaire à D passant par A.

Soit y = ax+b l'équation de D'.

Comme D et D' sont perpendiculaires, 2a = -1, donc .

Comme D' passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D' est donc .

C - Intersections de droites et systèmes d'équations

1- Equation à deux inconnues

Soient u, v et w trois réels avec u ou v non nul.

L'ensemble des couples (x, y) solutions de l'équation ux + vy = w peut être représenté graphiquement par une droite.

Si v = 0, on a ux = w, donc , équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Si v ≠ 0, on a , équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple

2x + 3y = 5 est équivalent à 3y = – 2x + 5, donc .

Ainsi, l'ensemble des couples (x, y) solutions de 2x + 3y = 5 peut être représenté par la droire d'équation

2- Système de deux équations à deux inconnues

Résoudre le système d'équations , c'est trouver l'ensemble des couples (x, y) qui vérifient simultanément les deux équations.

Comme les solutions de chacune des deux équations peuvent être représentées par des droites, les solutions du système seront représentées par l'intersection des deux droites.

Trois cas sont possibles :

• les droites sont sécantes, le système admet un unique couple (x, y) comme solution.

• les droites sont strictement parallèles, le système n'a pas de solutions.

• les droites sont confondues (les deux équations sont alors équivalentes), le système a une infinité de solutions représentées par la droite.

Exemple

Considérons le système .

L'équation 2x + y = 5 est équivalente à y = – 2x + 5.

L'équation 3x – 2y = 1 est équivalente à

y = .

Les droites D₁ d'équation y = – 2x + 5 et

D₂ d'équation y = sont sécantes,

les coordonnées du point d'intersection sont les solutions du système.

Graphiquement, les solutions sont donc

x ≈ 1,6 et y ≈ 1,9.

3- Méthodes de résolution

Résoudre le système .

Méthode de substitution

1. On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des deux équations
   Ici, la première équation nous donne y = 5 – 2x

2. On remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
   On obtient avec la deuxième équation 3x – 2(5 – 2x) = 1 soit 7x – 10 = 1

3. On résoud l'équation à une inconnue obtenue
   7x – 10 = 1 donc .

4. On obtient l'autre inconnue en utilisant l'expression obtenue au 1)
   y = 5 – 2x = .

5. Le système a donc une unique solution : et .

Méthode d'addition

1. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coeeficients de x soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 3 et la seconde par -2.
   On obtient le système

2. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient y.
   Ici, 7y = 13 d'où .

3. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coefficients de y soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 2 et la seconde par 1.
   On obtient le système .

4. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient x.

   Ici, 7x = 11 d'où .

5. Le système a donc une unique solution : et .