tableur-fonction-equation

Tableur, fonction et équation

On considère la fonction f définie par f(x) = x² - 6x + 4.

On se propose de résoudre l'équation f(x) = 0, d'abord de façon numérique en utilisant des tableaux de valeurs, ensuite de façon algébrique.

Méthode numérique

Le tableur ou la calculatrice permettent de calculer rapidement les images par f de nombreux réels sous forme de tableaux de valeurs. En procédant de façon ordonnée et systématique on peut obtenir, à l'aide de ces tableaux, des valeurs approchées très précises des solutions de l'équation f(x) = 0.

1) Construire un tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de -4 à 10 avec un pas égal à 1. On constate deux changements de signe pour f(x), et on en déduit que l'équation f(x) = 0 a deux solutions que l'on nommera s1 et s2 (avec s1 < s2). Donner des encadrements de s1 et s2 à une unité près.

2) Construire un nouveau tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de 0 à 1 avec un pas égal à 0,1. En déduire un encadrement de s1 à 0,1 près.

3) Recommencer avec x variant dans l'intervalle donné par l'encadrement précédent et un pas de 0,01. En déduire un encadrement de s1 à 0,01 près.

4) Continuer jusqu'à obtenir un encadrement de s1 à 0,0001 près.

5) Avec la même méthode, déterminer un encadrement de s2 à 0,0001 près.

Méthode algébrique

Pour résoudre l'équation f(x) = 0 de façon algébrique on cherche une factorisation de f(x).

1) Vérifier que f(x) = (x - 3)² - 5. En déduire une factorisation de f(x).

2) Quelles sont les solutions de l'équation f(x) = 0 ? Ces solutions correspondent-elles aux encadrements trouvés dans la première partie ?

tetraedre-regulier

Tétraèdre régulier

Partie 1

Soit ABCD un tétraèdre régulier; ses 4 faces sont des triangles équilatéraux.

1) On appelle I le milieu de l'arête [BC]. Montrer que (BC) est perpendiculaire au plan (AID). Qu'en déduit-on pour les droites (BC) et (AD) ?

2) On appelle J le milieu de l'arête [CD]. Montrer que (CD) est perpendiculaire au plan (AJB). Qu'en déduit-on pour les droites (CD) et (AB) ?

3) On appelle G l'intersection des droites (DI) et (BJ). Que représente le point G pour le triangle BCD ?

Montrer que la droite (AG) est perpendiculaire au plan (BCD).

Partie 2

On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. On se propose de calculer son volume.

 

1) Calculer DI, puis l'aire du triangle BCD.

2) Calculer DG, en sachant que G est le centre de gravité de BCD.

3) Montrer que AGD est rectangle en G, en déduire AG.

4) Montrer que le volume du tétraèdre est égal

Partie 3

On considère le cube AEBFGCHD d'arête c.

1) Montrer que le tétraèdre ABCD inscrit dans ce cube est un tétraèdre régulier.

2) Calculer le volume V₁ du cube et le volume V₂ de la pyramide AGCD en fonction de c.

3) Montrer que le volume V du tétraèdre ABCD est égal à V₁ - 4V₂. Exprimer ce volume en fonction de c.

4) On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. Exprimer c en fonction de a.

En déduire le volume V de ABCD en fonction de a.

geomesp

Géométrie dans l'espace

Le monde dans lequel nous vivons a trois dimensions (largeur, hauteur, profondeur), il ne peut pas être décrit entièrement par la géométrie plane. La géométrie dans l'espace se propose d'étudier les objets à 3 dimensions comme les cubes ou les pyramides.

A - Perspective cavalière

Voici la représentation en perspective cavalière d'un cube ABCDEFGH. Essayons de mettre en évidence les règles utilisées.

Un cube a 6 faces qui sont des carrés.

La face ABCD du cube est donc un carré, pourtant sa représentation en perspective cavalière a la forme d'un parallélogramme qui n'est pas un carré.

L'angle est droit sur le cube mais aigu sur la figure.

Les arêtes [AB] et [CD] ont même longueur sur le cube mais on les a représentées par des segments de longueurs différentes.

Il faut donc distinguer le cube et sa représentation, la réalité et ce qu'on voit sur la figure.

Pour faire correctement une représentation en perspective cavalière il faut respecter un certain nombre de règles.

Des segments parallèles sont représentés par des segments parallèles.

C'est pour cette raison que les faces carrées du cube sont représentées par des parallélogrammes.

Les alignements et les rapports de longueurs entre points alignés doivent être conservés.

Par exemple le milieu d'un segment se trouve aussi au milieu sur la représentation.

Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Ceci nous permet de distinguer les parties qui se trouvent au premier plan.

Attention

Les longueurs et les angles sont souvent modifiés par les représentations en perspective cavalière. Seules les parties vues de face dans un plan vertical sont représentées en vraie grandeur.

B - Droites et plans dans l'espace

1- Définitions

Une droite de l'espace est définie par deux points distincts.

La droite passant par les points A et B est notée (AB).

Bien qu'elle soit représentée ici par un segment, il ne faut pas oublier qu'une droite est illimitée.

Lorsque plusieurs points se trouvent sur une même droite, on dit qu'ils sont alignés.

Un plan de l'espace est défini par trois points non alignés.

Le plan passant par les points non alignés A, B et C est noté (ABC).

Bien qu'il soit représenté ici par un parallélogramme, il ne faut pas oublier qu'un plan est illimité.

Lorsque des points et des droites se trouvent dans un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires et on peut leur appliquer les théorèmes de la géométrie plane.

Remarque : trois points sont toujours coplanaires.

2- Intersection d'une droite et d'un plan

On peut distinguer trois cas :

La droite et le plan sont sécants; leur intersection est un point.	La droite est strictement parallèle au plan, ils n'ont aucun point en commun.	La droite est incluse dans le plan (elle a au moins deux points communs avec le plan).

Par convention, on dira qu'une droite est parallèle à un plan lorsqu'ils sont d'intersection vide ou lorsque la droite est incluse dans le plan.

3- Intersection de deux droites distinctes

Si deux droites sont coplanaires (elles font partie d'un même plan), nous savons qu'elles sont soit sécantes en un point, soit parallèles. Mais attention, deux droites peuvent aussi être non coplanaires, leur intersection est vide mais elles ne sont pas parallèles.

Droites coplanaires		Droites non coplanaires
Les deux droites sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point commun mais sont dans le même plan.	Les deux droites sont sécantes en un point.	Les deux droites n'ont aucun point commun mais elles ne sont pas parallèles car elles ne sont pas dans le même plan..

4- Intersection de deux plans distincts

Deux plans distincts sont soit strictement parallèles (intersection vide), soit sécants; l'intersection de deux plans sécants est toujours une droite.

Les deux plans sont strictement parallèles : ils n'ont aucun point en commun.	Les deux plans sont sécants : ils se coupent suivant une droite.

Par convention, on dira que deux plans sont parallèles lorsqu'ils d'intersection vide ou lorsqu'ils sont confondus.

C - Parallélisme dans l'espace

1- Droite parallèle à un plan

Pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan.

Hypothèses :

- la droite d est incluse dans le plan P

- les droites d et d' sont parallèles

Conclusion :

La droite d est parallèle au plan P.

2- Plans parallèles

Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites sécantes parallèles à l'autre.

Hypothèses :

- le plan P' contient les droites sécantes d₁ et d₂

- les droites d₁ et d₂ sont parallèles à P

Conclusion :

Le plan P' est parallèle au plan P.

3- Transitivité du parallélisme

Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

De même :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Attention

Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles.

De même, deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.

4- Plan coupant deux plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.

Hypothèses :

- P et P' sont deux plans parallèles.

- Le plan Q coupe P suivant la droite d

et P' suivant la droite d'.

Conclusion :

Les droites d et d' sont parallèles.

5- Théorème du toit

Si deux plans sécants contiennent des droites parallèles, alors leur intersection est parallèle à ces droites. (théorème du toit)

Hypothèses :

P et P' se coupent suivant la droite D;

P contient la droite d

et P' contient la droite d';

d et d' sont parallèles.

Conclusion :

La droite D est parallèle aux droites d et d'.

D - Orthogonalité dans l'espace

1- Droites perpendiculaires et droites orthogonales

On dit que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont sécantes, donc coplanaires.

On dit que deux droites sont orthogonales si l'une d'elles est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont orthogonales.

Exemples

Dans le cube ABCDEFGH :

- les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, elles sont sécantes et forment un angle droit

- les droites (AB) et (FG) sont orthogonales, en effet la droite (FG) est parallèle à la droite (BC) qui est perpendiculaire à (AB).

2- Droite perpendiculaire à un plan

On dit qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan lorsqu'elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Propriété fondamentale

Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

Exemple

Dans le cube ABCDEFGH , la droite (AE) est perpendiculaire au plan (EFG), en effet elle est orthogonale à (EF) et à (EH).

Comme (AE) est perpendiculaire au plan (EFG) elle est orthogonale à toutes les droites de (EFG), donc (AE) est orthogonale à (FH) et à (EG).

3- Relations entre parallélisme et orthogonalité

Propriété 1

Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Hypothèses :

- d est perpendiculaire à P

- d' est perpendiculaire à P

Conclusion :

d et d' sont parallèles.

Propriété 2

Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Hypothèses :

- d est perpendiculaire à P

- d est perpendiculaire à P'

Conclusion :

P et P' sont parallèles.

Attention

Contrairement à ce qui se passe dans le plan, deux droites perpendiculaires à une même troisième ne sont pas obligatoirement parallèles.

Ainsi, les droites (AD) et (DH) sont perpendiculaires à (DC), mais elles ne sont pas parallèles.

affines

Fonctions affines

A. Reconnaître les fonctions affines

1- Définition

Une fonction f définie sur ℝ est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = ax + b.

Pour calculer l'image d'un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis d'ajouter la constante b.

Exemples :

1. soit f définie par f(x) = 2x - 5; f(x) est bien de la forme ax + b avec a=2 et b=-5, c'est donc une fonction affine.

2. soit g définie par g(x) = -x + 2; on a g(x) = -1x + 2, g(x) est bien de la forme ax + b avec a=-1 et b=2, c'est donc une fonction affine.

3. soit h définie par ; on a , h(x) est bien de la forme ax + b avec a=1/2 et b=0, c'est donc une fonction affine.

2- Représentation graphique d'une fonction affine

Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b.

La représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère est une droite. Cette droite est appelée droite d'équation y = ax + b.

Remarque

Comme la représentation graphique d'une fonction affine est une droite, il suffit de construire deux points pour la tracer. Pour éviter des erreurs il est cependant conseillé de construire un troisième point qui permet d'effectuer une vérification.

Exemples

La figure donne les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par :

et g(x) = –x – 1

Tableau de valeurs utilisé :

x	-2	0	2
f(x)	0	1	2
g(x)	1	-1	-3

3- Cas particuliers

Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Lorsque l'un des deux paramètres a et b est égal à 0, on obtient une fonction affine particulière.

Si a = 0, on a f(x) = b. La fonction f est alors appelée fonction constante, sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses du repère (horizontale).

Si b = 0, on a f(x) = ax. La fonction f est alors appelée fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Les fonctions linéaires permettent de décrire les situations de proportionnalité, le paramètre a est alors le coefficient de proportionnalité.

B. Détermination des paramètres

Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Nous allons voir comment interpréter graphiquement les paramètres a et b.

1- Ordonnée à l'origine

Comme f (0) = a×0 + b = b, la droite représentant graphiquement la fonction f passe par le point de coordonnées (0, b). C'est en ce point qu'elle coupe l'axe des ordonnées et c'est pourquoi on appelle le paramètre b ordonnée à l'origine.

Exemples

Si f(x) = ax + b, l'ordonnée à l'origine b permet de déterminer le point d'intersection de la droite représentation graphique de f avec l'axe des ordonnées.

2- Coefficient directeur

On a f (x+1) = a(x + 1) + b = ax + a + b = ax + b + a = f(x) + a.

Soit finalement : f(x + 1) = f(x) + a.

Ce résultat peut s'interpréter de la façon suivante : à chaque fois que l'on augmente x d'une unité, on augmente f(x) de a unités.

Cette propriété permet de définir la direction que prend la droite d'équation y = ax + b, c'est pourquoi le paramètre a est appelé coefficient directeur.

Exemples

La figure donne les représentations graphiques des fonctions f et g définies par :

f(x) = 2x – 1 et g(x) = –x + 1.

Sur la droite d'équation y = 2x - 1, lorsqu'on s'écarte d'une unité parallèlement à l'axe des abscisses, on doit se déplacer de 2 unités parallèlement à l'axe des ordonnées pour revenir sur la droite ; 2 est le coefficient directeur.

Sur la droite d'équation y = -x + 1, lorsqu'on s'écarte d'une unité parallèlement à l'axe des abscisses, on doit se déplacer de -1 unité parallèlement à l'axe des ordonnées pour revenir sur la droite ; -1 est le coefficient directeur.

C. Signe d'une fonction affine

Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b avec a≠0.

1- Variations de f

Si a est positif, la fonction f est croissante, la droite représentation graphique de f « monte ».

Démonstration

Si x₁ < x₂, alors ax₁ < ax₂ (l'ordre n'est pas modifié car on a multiplié par un nombre positif), donc ax₁ + b < ax₂ + b et finalement f(x₁) < f(x₂); la fonction f conserve l'ordre des nombres.

Si a est négatif, la fonction f est décroissante, la droite représentation graphique de f «descend».

Démonstration

Si x₁ < x₂, alors ax₁ > ax₂ (l'ordre est modifié car on a multiplié par un nombre négatif),

donc ax₁ + b > ax₂ + b et finalement f(x₁) > f(x₂); la fonction f inverse l'ordre des nombres.

2- Equation ax + b = 0

L'équation ax + b = 0 (avec a ≠ 0) a une solution unique qui est .

Cela signifie que la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées .

3- Signe de ax + b

On distingue deux cas.

Si a est positif, la fonction f est croissante, les valeurs de f(x) vont donc évoluer du négatif vers le positif en passant par 0. On résume cela avec le tableau de signes suivant :

Si a est négatif, la fonction f est décroissante, les valeurs de f(x) vont donc évoluer du positif vers le négatif en passant par 0. On résume cela avec le tableau de signes suivant :