pb-minimum-outils-en-ligne

Un problème de minimum à résoudre avec des outils informatiques en ligne

Source : activité 6 p. 246, Hyperbole 2nde

Enoncé du problème

ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=1.
M est un point du segment [BC] tel que BM=x.
On note O le point d'intersection des droites (AM) et (BD); la parallèle à (AB) passant par O coupe (AD) et (BC) respectivement en H et H'.
Pour quelle position du point M la somme des aires des triangles AOD et BOM est-elle minimale ?

A - Figure avec Geogebra et première conjecture

Cette partie est traitée avec le logiciel Geogebra à démarrer à partir de la page Geogebra WebStart.

1- Construction de la figure

1) Créer les points A, B, C et D en donnant leurs coordonnées. On choisira B(0,0) et D(1,2). Quelles doivent être les coordonnées de A et C ? Rendre ces 4 points fixes.
2) Créer les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On peut supprimer l'affichage du repère et zoomer.
3) Créer le point M sur [BC], puis le segment BM qu'on renommera xx.
4) Construire les points O, H et H', puis les triangles AOD et BOM.
5) Définir la variable S comme somme des aires de AOD et BOM.

2- Observation et conjecture

Déplacer le point M sur [BC] et observer les variations de S.
Quelles est la valeur minimale de S ? Pour quelle valeur de xx est-elle obtenue ?
En choisissant l'option d'affichage de 5 décimales on peut donner des réponses avec 5 décimales.

B - Détermination d'une fonction

Cette partie contient des démonstrations à faire sur la copie.
On appelle f la fonction qui à tout réel x de [0,1] associe la somme des aires de AOD et BOM, BM étant égal à x.
On se propose de trouver une expression de f(x) en fonction de x.
1) Montrer que les triangles AOD et BOM sont semblables. Quel est le rapport de similitude faisant passer de AOD à BOM ?
2) Expliquer pourquoi OH'=xOH et OH+OH'=2.
En déduire OH, puis l'aire de AOD et celle de BOM en fonction de x.
3) Montrer que .

C - Etude graphique de la fonction f

Cette partie utilise la calculatrice de fonction de WIMS.
1) Introduire la fonction f en écrivant : (x^2+1)/(x+1)
2) Cocher la ligne "La courbe de f, dans l'intervalle ..." et donner [0,1] comme intervalle.
3) Cocher la ligne "Recherche de racines et/ou extréma de f(x)..." et donner encore [0,1] comme intervalle.
4) Cliquer sur le bouton "Montrer"
5) Lorsque la courbe apparaît, cliquer sur le minimum de la courbe.
Quel est le minimum de f indiqué ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que les résultats confirment ceux obtenus avec Geogebra ?

D - Détermination algébrique du minimum de f

Cette partie utilise XCas en ligne pour effectuer des calculs algébriques. (il est recommandé d'utiliser le navigateur Firefox, la page Xcas en ligne utilise des possibilités que d'autres navigateurs ne savent pas encore exploiter)
Dans XCas nous activons la console symbolisée par un écran et l'Assistant d'Xcas en ligne symbolisé par une bouée.

1) En utilisant la partie Analyse de l'assistant, définir la fonction f en écrivant f(x) comme nom et (x^2+1)/(x+1) comme expression. Cliquer sur le bouton "Ecrire sans calculer".
L'assistant inscrit :
f(x):=(x^2+1)/(x+1)
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider.
2) Vérifier que .
Pour effectuer cette vérification il suffit de factoriser le premier membre. On choisit donc la partie Algèbre de l'assistant et l'instruction Factoriser.
Comme expression à factoriser on inscrit f(x)-2*(sqrt(2)-1). La fonction racine carrée est appelée sqrt (de square root).
L'assistant inscrit :
factor(f(x)-2*(sqrt(2)-1))
dans la console, appuyer sur Entrée pour valider. On obtient le résultat attendu.
3) Déduire du résultat précédent que pour tout x de [0,1], .
En utilisant XCas, vérifier que .
4) Quelle est la valeur exacte du minimum de f ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
Est-ce que cela confirme les résultats obtenus dans les parties précédentes ?

La droite de Mayer

(d'après Maths Repères 2nde)

Une entreprise souhaite faire des prévisions sur son chiffre d'affaires. Les chiffres d'affaires réalisés depuis la création de l'entreprise sont donnés par le tableau suivant :

Année xi	1	2	3	4	5	6	7	8
Chiffre d'affaires yi en millions d'euros	16	19	22	23	24	26	27	30

1) Dans un repère du plan représenter les 8 points M_i(x_i, y_i) définis par le tableau.

Les points sont plus ou moins alignés. Le but est de trouver une droite qui soit la plus proche possible de ces points; on pourra alors estimer que les valeurs des chiffres d'affaires futurs seront proches de cette droite et obtenir ainsi des prévisions.
La méthode proposée par le physicien et astronome Johann Tobias Mayer (1723 - 1762) consiste à regrouper les 4 premiers points et les quatre derniers points et de remplacer chaque groupe par un unique point moyen. La droite définie par ces deux points moyens est la droite de Mayer.

2) Calculer les coordonnées du point G₁ en prenant les moyennes des coordonnées des 4 premiers points du tableau.
Calculer, de même, les coordonnées du point G₂ en prenant les moyennes des coordonnées des 4 derniers points du tableau.

3) Placer les points G₁ et G₂ sur le graphique, puis tracer la droite (G₁G₂), qui est la droite de Mayer. On admet qu'il s'agit d'une assez bonne modélisation du chiffre d'affaires.
En utilisant le graphique :
a) Donner les prévisions du chiffre d'affaires pour les années 9 et 10.
b) Si l'évolution du chiffre d'affaires continue à suivre ce modèle, en quelle année l'entreprise atteindra-t-elle un chiffre d'affaires de 45 millions d'euros ?

4) Déterminer une équation de la droite (G₁G₂). Retrouver par le calcul les réponses aux questions 3a et 3b.

Equation d'un ensemble de points

Ensembles de points définis par une équation

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

1) On appelle E l'ensemble des points M(x,y) tels que x²+y²-2y-9=0.
a) Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartiennent à l'ensemble E ?
A(3;2) , B(2;4) , C(-1;-2) , D(-4;1).
b) Quels sont les points de E :
- d'ordonnée 3 ?
- d'ordonnée 5 ?
- d'abscisse ?
c) Montrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de E, c'est à dire que si M(x;y) est dans E, alors M'(-x;y) est aussi dans E.
d) Construire une figure contenant tous les points de E trouvés dans les questions précédentes. Ces points semblent se trouver sur un cercle de centre Ω et de rayon R.
Conjecturer les coordonnées de Ω et la valeur de R. Démontrer qu'un point M(x,y) se trouve sur le cercle de centre Ω et de rayon R si et seulement si x²+y²-2y-9=0.

On a ainsi montré que l'ensemble E est le cercle de centre Ω et de rayon R qu'on appelle aussi cercle d'équation x²+y²-2y-9=0.

2) On appelle F l'ensemble des points M(x,y) tels que x+2y-5=0.
a) Déterminer 5 points de F et les dessiner. Quelle conjecture peut-on faire sur F ?
b) Vérifier que les points A(3;1) et B(5,0) sont dans F.
c) Démontrer qu'un point M(x,y) se trouve sur la droite (AB) si et seulement si x+2y-5=0.

(Rappel : les points A, M et B sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires, c'est à dire si et seulement si les vecteurs et ontdes coordonnées proportionnelles)

On a ainsi montré que l'ensemble F est la droite (AB) qu'on appelle aussi droite d'équation x+2y-5=0.

Fonction et valeur absolue

Partie 1

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x²-3.
1) Construire un tableau de valeurs de f, puis tracer la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0, puis l'inéquation f(x)>0.
3) Factoriser f(x) et utiliser le résultat pour résoudre algébriquement l'équation f(x)=0 et l'inéquation f(x)>0.
4) Résoudre les équations f(x)=2 et f(x)=-5. Vérifier les résultats sur le graphique.

Partie 2

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=|x²-3|.
1) Tracer la représentation graphique de g sur la même figure que celle de f.
2) Etudier le signe de x²-3 et en déduire des expressions de g(x) sans valeur absolue selon la position de x.
3) Résoudre graphiquement l'équation g(x)=2, puis l'équation g(x)=5.
4) Retrouver ces résultats algébriquement.

Triangles de même forme

Dans le plan muni d'un repère orthonormal on considère les points:
A(-5; 2), B(-1; 4), C(-1; -2)
D(4; 2), E(7; -4), F(-2; -4)

1) Placer les points et tracer les triangles ABC et DEF.

Ces deux triangles semblent avoir la même forme; DEF semble être un agrandissement de ABC. Pour le vérifier, on calcule les longueurs des côtés de ces triangles.

2) Calculer les longueurs AB, BC et CA, puis les longueurs DE, EF et FD.
Démontrer que AB, BC et CA sont proportionnels à DE, EF et FD, c'est à dire que l'on passe de AB, BC et CA à DE, EF et FD en multipliant par un même nombre k à déterminer.
Cela montre que DEF est un agrandissement de ABC à l'échelle k.

3) Sur [DE] on place le point G telque DG=AB et sur [DF] on place le point K tel que DK=AC.
a) Montrer que (KG) // (FE), puis que KG=BC
b) Qu'en déduit-on pour les triangles ABC et DGK ?

4) Montrer que les triangles ABC et DEF ont leurs angles égaux 2 à 2.

5) Soit H(-1; 2).
a) Montrer que (AH) est une hauteur du triangle ABC.
b) Calculer l'aire de ABC.
c) Par quel nombre faut-il multiplier l'aire de ABC pour trouver l'aire de DEF ?

Moyenne et médiane

Exercice 1

Les résultats d'un contrôle de vitesse dans une rue d'une agglomération sont consignés dans le tableau suivant.

Vitesse en km/h	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	[60;70[	[70;80[
Effectif	56	104	188	108	16	8

1) Reproduire ce tableau sur un tableur, construire un histogramme représentant les données.
2) Ajouter une ligne "Centres", une ligne "Effectif cumulé croissant" et une ligne "Fréquences", puis compléter.
3) Calculer l'effectif total (avec la fonction somme), puis la moyenne (avec la fonction sommeprod).
4) Calculer le demi-effectif et en déduire la classe médiane.
5) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Vitesse en km/h	20	30	40	50	60	70	80
Eff. cum. croissant

A l'aide de ce tableau, construire le polygone des effectifs cumulés croissant et en déduire graphiquement la valeur de la médiane.
Retrouver la médiane par calcul.

Exercice 2

Le tableau donne la répartition des prix d'un appareil électro-ménager dans différents points de vente.

Prix en euros	[300;350[	[350;400[	[400;450[	[450;500[	[500;550[	[550;600[	[600;650[	[650;700[
Effectif	4	6	12	20	17	8	7	6

Mêmes questions qu'à l'exercice 1.

tableur-fonction-equation

Tableur, fonction et équation

On considère la fonction f définie par f(x) = x² - 6x + 4.

On se propose de résoudre l'équation f(x) = 0, d'abord de façon numérique en utilisant des tableaux de valeurs, ensuite de façon algébrique.

Méthode numérique

Le tableur ou la calculatrice permettent de calculer rapidement les images par f de nombreux réels sous forme de tableaux de valeurs. En procédant de façon ordonnée et systématique on peut obtenir, à l'aide de ces tableaux, des valeurs approchées très précises des solutions de l'équation f(x) = 0.

1) Construire un tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de -4 à 10 avec un pas égal à 1. On constate deux changements de signe pour f(x), et on en déduit que l'équation f(x) = 0 a deux solutions que l'on nommera s1 et s2 (avec s1 < s2). Donner des encadrements de s1 et s2 à une unité près.

2) Construire un nouveau tableau de valeurs donnant f(x) lorsque x varie de 0 à 1 avec un pas égal à 0,1. En déduire un encadrement de s1 à 0,1 près.

3) Recommencer avec x variant dans l'intervalle donné par l'encadrement précédent et un pas de 0,01. En déduire un encadrement de s1 à 0,01 près.

4) Continuer jusqu'à obtenir un encadrement de s1 à 0,0001 près.

5) Avec la même méthode, déterminer un encadrement de s2 à 0,0001 près.

Méthode algébrique

Pour résoudre l'équation f(x) = 0 de façon algébrique on cherche une factorisation de f(x).

1) Vérifier que f(x) = (x - 3)² - 5. En déduire une factorisation de f(x).

2) Quelles sont les solutions de l'équation f(x) = 0 ? Ces solutions correspondent-elles aux encadrements trouvés dans la première partie ?

tetraedre-regulier

Tétraèdre régulier

Partie 1

Soit ABCD un tétraèdre régulier; ses 4 faces sont des triangles équilatéraux.

1) On appelle I le milieu de l'arête [BC]. Montrer que (BC) est perpendiculaire au plan (AID). Qu'en déduit-on pour les droites (BC) et (AD) ?

2) On appelle J le milieu de l'arête [CD]. Montrer que (CD) est perpendiculaire au plan (AJB). Qu'en déduit-on pour les droites (CD) et (AB) ?

3) On appelle G l'intersection des droites (DI) et (BJ). Que représente le point G pour le triangle BCD ?

Montrer que la droite (AG) est perpendiculaire au plan (BCD).

Partie 2

On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. On se propose de calculer son volume.

 

1) Calculer DI, puis l'aire du triangle BCD.

2) Calculer DG, en sachant que G est le centre de gravité de BCD.

3) Montrer que AGD est rectangle en G, en déduire AG.

4) Montrer que le volume du tétraèdre est égal

Partie 3

On considère le cube AEBFGCHD d'arête c.

1) Montrer que le tétraèdre ABCD inscrit dans ce cube est un tétraèdre régulier.

2) Calculer le volume V₁ du cube et le volume V₂ de la pyramide AGCD en fonction de c.

3) Montrer que le volume V du tétraèdre ABCD est égal à V₁ - 4V₂. Exprimer ce volume en fonction de c.

4) On appelle a l'arête du tétraèdre régulier ABCD. Exprimer c en fonction de a.

En déduire le volume V de ABCD en fonction de a.

calculatrice-equations.odt

Calculatrice et équations

Pour résoudre graphiquement une équation de la forme f (x) = g(x) :

- on trace les courbes représentatives de f et g

- les solutions de l'équation sont données par les abscisses des points d'intersection

Il est parfois nécessaire de choisir une bonne fenêtre graphique pour voir tous les points d'intersection des deux courbes.

Lorsque les solutions semblent être des valeurs simples, entières par exemple, on peut vérifier par calcul que ce sont bien des solutions. Toutefois cette vérification n'assure pas qu'on a trouvé toutes les solutions existantes.

Lorsque les solutions ne sont pas des valeurs simples, on peut les approcher en utilisant des tableaux de valeurs.

1- Exercice 1

Résoudre les équations suivantes, d'abord graphiquement, puis par le calcul.

a) x² – 9 = 7                    b) (x + 3)² = 16                c) x² – 2 = 6 – x²             d) x² – 1 = – 3

e)          f)                 g) x² = 2x – 1                 h) x² – 1 = 3x + 3

i) x² – 2x = –3x + 6         j)             k)

2- Exercice 2

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = 0,01x³ – 0,32x² + 0,36x + 7,2.

1) Tracer la courbe représentative de f sur votre calculatrice. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f (x) = 0, ainsi que leurs valeurs.

2) Vérifier par un calcul que les solutions obtenues par lecture graphique sont bien des solutions exactes de l'équation f (x) = 0.

3) Est-on certain que ce sont les seules solutions ? Que devient la courbe pour des valeurs plus grande de x ? Calculer f (40). Que peut-on en déduire ?

4) Montrer que pour tout réel x, f (x) = 0,01(x – 30)(x – 6)(x + 4). Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f (x) = 0 ?

calculatrice-maximum-fonction.odt

Maximum d'une fonction et calculatrice

Objectifs :

• faire tracer la courbe représentative d'une fonction

• utiliser le tableau de valeurs fourni par la calculatrice

• démontrer qu'une valeur est bien le maximum ou le minimum d'une fonction

Exemple 1

Soit  f  la fonction définie sur ℝ par f (x) = x² – 3x + 1.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f (x)	41	29	19	11	5	1	-1	-1	1	5	11

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations de f ? sur l'existence d'un minimum ?

f semble être décroissante lorsque x varie de -5 à 1 et croissante lorsque x varie de 2 à 5.
On ne voit pas ce qui se passe entre 1 et 2.
S'il y a un minimum, il semble devoir être atteint pour x compris entre 1 et 2.

Créer un tableau donnant les valeurs de f (x) pour x variant entre 1 et 2 avec un pas de 0,1.

x	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,5	1,7	1,8	1,9	2
f (x)	-1	-1,09	-1,16	-1,21	-1,24	-1,25	-1,24	-1,21	-1,16	-1,09	-1

Cette fois il semble qu'il ait bien un minimum égal à -1,25 atteint pour x = 1,5.

A-t-on vraiment f (1,5) = -1,25, c'est à dire f (3/2) = -5/4 , ou s'agit-il d'un résultat approché ?

Pour répondre il faut effectuer le calcul sur sa feuille.
.

Tracer la courbe représentative de f sur la calculatrice pour x variant de -5 à +5.

On règle la fenêtre d'affichage en donnant les valeurs xMin=-5 et xMax=5.
Comment choisir yMin et yMax pour voir toute la courbe ?

Est-ce que cette courbe confirme la conjecture sur le miminum ?

Oui. Cependant il subsiste un doute. Que se passe-t-il lorsque x est supérieur à 5 ou inférieur à -5 ? Il est possible qu'il y ait des changements dans les sens de variation et que f (x) devienne inférieur à -1,25.

Démontrer que le minimum de f est bien -5/4 et qu'il est atteint pour x = 3/2.

Il s'agit de montrer que pour tout réel x, on a  f (x)  -5/4.

Pour effectuer cette démonstration, on calcule  f (x) - (-5/4) et on étudie son signe. Normalement, on doit trouver que f (x) - (-5/4) est toujours positif et ne s'annule que pour x = 3/2.
.
On remarque que 4x² – 12x + 9 = (2x – 3)², d'où
 .
Comme un carré est toujours positif, cela montre bien que f (x) - (-5/4) est toujours positif et donc que  f (x)  -5/4. D'autre part, (2x – 3)² ne s'annule que pour x = 3/2, le minimum est donc atteint pour x = 3/2.

Exemple 2

Soit f la fonction définie sur ℝ par .

A l'aide de la calculatrice, déterminer le minimum et le maximum de f.

Démontrer ces résultats.

lecture-graphique

Lecture graphique (1)

On considère la fonction f définie par la courbe suivante :

1. L'ensemble de définition de f est

2. Construire le tableau de variation de f :

3. L'image de 4 est f (4) = ; l'image de – 1 est f (– 1) =

4. Quel est le nombre d'antécédents de 1 ?

Les antécédents de 1 sont

5. Donner :

- un nombre qui n'a pas d'antécédent

- un nombre qui a exactement un seul antécédent

- un nombre qui a exactement deux antécédents

- un nombre qui a exactement trois antécédents

6. a et b sont deux réels de ]– 3; 2[ tels que a < b. Comparer f (a) et f (b) :

7. Quelles sont les solutions de l'inéquation f (x) < 0 ?

---

Lecture graphique (2)

On considère la fonction f définie par la courbe suivante :

1. Quel est l'ensemble de définition de f ?

2. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4
f (x)

3. Reproduire la courbe représentative de f.

4. Construire le tableau de variation de f.

5. Résoudre l'équation f (x) = – 3.

6. Etudier le signe de f (x) et donner la réponse sous la forme d'un tableau de signes.

7. A quel intervalle appartient f (x) lorsque x ∈ [– 1; 2] ?

8. a et b sont 2 réels de l'intervalle [– 1; 4] tels que a < b.

Que peut-on dire de l'ordre de f (a) et f (b) ?

trigo.odt

Rapports trigonométriques remarquables

1- Diagonale d'un carré

ABCD est un carré de côté a. Calculer la longueur de sa diagonale AC.

En déduire les valeurs de sin(45°), cos(45°) et tan(45°).

2- Hauteur d'un triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté a et H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer BH et AH.

En déduire les valeurs de sin(60°), cos(60°) et tan(60°).

Puis les valeurs de sin(30°), cos(30°) et tan(30°).

Résumé des résultats obtenus :

Angles	30°	45°	60°
sinus
cosinus
tangente		1

3- Valeur exacte de sin(15°)

Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec, vivait au IIème siècle avant JC. Il a publié dans son manuel astronomique l'Almageste la première table trigonométrique de l'histoire. On lui doit ce calcul de la valeur exacte de sin(15°).

Sur un cercle  de centre O et de rayon 1 on place deux points B et C tels que =60°.

La bissectrice de coupe [BC] en D et le cercle  en A.

La bissectrice de coupe [AB] en I.

1. Montrer que sin(15°) = BI.

2. Montrer que et . En déduire AB².

3. Justifier l'égalité sin(15°) = .
   Vérifier avec la calculatrice.

droite-Euler.odt

Droite d'Euler

Il s'agit de montrer que dans un triangle le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont alignés. La droite qui les contient est la droite d'Euler.

Soit ABC un triangle.

1- Centre du cercle circonscrit

Construire le point O centre du cercle circonscrit à ABC et tracer ce cercle.

On appelle I le milieu de [BC], K le pied de la hauteur issue de A et E le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit.

2- Orthocentre

• Montrer que les droites (OI) et (AK) sont parallèles.

• La droite (EI) coupe la droite (AK) en H. Montrer que I est le milieu de [EH].

• Montrer que BECH est un parallélogramme.

• Montrer que les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires; en déduire que H est l'orthocentre du triangle ABC.

3- Centre de gravité

• Les droites (OH) et (AI) se coupent en G. Montrer que G est le centre de gravité du triangle AHE.

• En déduire que G est aussi le centre de gravité du triangle ABC.

4- Conclusion

Les points O, H et G sont alignés, donc le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité du triangle ABC sont alignés.

triangle-13-14-15.odt

Le triangle 13-14-15

Dans son Algèbre, Al Huwarism (820 après J.C.) s'intéresse beaucoup aux triangles dont les côtés ont pour longueur 13-14-15.

Soit ABC tel que AB=13cm, BC=14cm et CA=15cm.

On appelle H le pied de la hauteur issue de A.

1- Calcul de AH, BH et CH

Posons BH=x.

• Exprimer CH en fonction de x

• Exprimer AH² en fonction de x de deux façons différentes en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles AHB et AHC.

• En déduire une équation vérifiée par x, puis calculer x.

• En déduire AH, BH et CH. Pourquoi Al Huwarism s'est-il intéressé à ce triangle ?

2- Aire et hauteurs

• Calculer l'aire de ABC.

• On appelle K et L les pieds des hauteurs issues de B et C. Calculer BK et CL.
  (on pourra utiliser l'aire de ABC)

3- Angles du triangle ABC

• Calculer, à 1° près, les mesures des angles du triangle ABC.

conjecture.odt

Conjecture, contre-exemple, démonstration

Exercice 1

Un élève a fait la conjecture suivante :

« Si n est un nombre premier, alors n² + n + 17 est aussi un nombre premier. »

Vérifie cette conjecture pour les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Et pour 17 ? Conclusion ?

Exercice 2

Conjecture : « Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme de la différence des carrés de deux nombres entiers. »

Ecrire les nombres 3, 5, 7, 9 sous la forme de différence des carrés de deux nombres entiers.

Et pour 537 ?

Comment démontrer que cette conjecture est exacte ?

Exercice 3

a) Ajouter 3 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 3 ?

Recommencer avec d'autres exemples.

Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

b) Ajouter 5 nombres entiers consécutifs. La somme est-elle un multiple de 5 ?

Recommencer avec d'autres exemples.

Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

c) Peut-on généraliser les propriétés précédentes en disant que la somme de n entiers consécutifs est un multiple de n ?

Exercice 4

1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ?

(Faire plusieurs essais)

2. Montrer que, pour tout réel x, on a x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x² + 3x + 1)²

Expliquer le résultat observé à la question 1.

Exercice 5

a) Calculer , puis .

b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.

Exercice 6

Soit f la fonction définie par .

a) Calculer et f (3), puis et f (– 5) .

b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer.