Droites et équations

Equation d'une droite

A - Droites et équations

1- Droite définie par une équation

Le plan est muni d'un repère .

Soient a et b deux réels.

L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite.

Celle-ci est la représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b, on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b.

a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.

Réciproquement :

• toute droite du plan qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, admet une équation du type y = ax + b.

• les droites parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation du type x = c.

Exemples :

Tracer les droites :

a) D₁ d'équation y = 2x – 3

b) D₂ d'équation y = 4

c) D₃ d'équation x = 2.

2- Propriétés

1- Si la droite D d'équation y = ax+b passe par les points A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B), alors le coefficient directeur a est égal à .

2- La droite D d'équation y = ax+b est parallèle au vecteur qui est appelé vecteur directeur de la droite.

3- Les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, donc a = a'.

4- Dans un repère orthonormal, les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, donc aa' = -1.

B - Recherche de l'équation d'une droite

Pour obtenir l'équation d'une droite :

1- on détermine son coefficient directeur en utilisant une propriété géométrique (deux points de la droite, parallélisme, orthogonalité)

2- on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant un des points de la droite.

1- Exemple 1

Déterminer l'équation de la droite D passant par A(-2; 1) et B(3; -1).

Soit y = ax+b l'équation de D.

Le coefficient directeur de D est a = = .

Comme D passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D est donc .

2- Exemple 2

Le plan est muni d'un repère orthnormal.

On considère le point A(-3; -2) et la droite D d'équation y = 2x – 1.

Déterminer l'équation de la droite D' perpendiculaire à D passant par A.

Soit y = ax+b l'équation de D'.

Comme D et D' sont perpendiculaires, 2a = -1, donc .

Comme D' passe par A, on a y_A = ax_A + b, donc .

On en déduit que .

L'équation de D' est donc .

C - Intersections de droites et systèmes d'équations

1- Equation à deux inconnues

Soient u, v et w trois réels avec u ou v non nul.

L'ensemble des couples (x, y) solutions de l'équation ux + vy = w peut être représenté graphiquement par une droite.

Si v = 0, on a ux = w, donc , équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Si v ≠ 0, on a , équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple

2x + 3y = 5 est équivalent à 3y = – 2x + 5, donc .

Ainsi, l'ensemble des couples (x, y) solutions de 2x + 3y = 5 peut être représenté par la droire d'équation

2- Système de deux équations à deux inconnues

Résoudre le système d'équations , c'est trouver l'ensemble des couples (x, y) qui vérifient simultanément les deux équations.

Comme les solutions de chacune des deux équations peuvent être représentées par des droites, les solutions du système seront représentées par l'intersection des deux droites.

Trois cas sont possibles :

• les droites sont sécantes, le système admet un unique couple (x, y) comme solution.

• les droites sont strictement parallèles, le système n'a pas de solutions.

• les droites sont confondues (les deux équations sont alors équivalentes), le système a une infinité de solutions représentées par la droite.

Exemple

Considérons le système .

L'équation 2x + y = 5 est équivalente à y = – 2x + 5.

L'équation 3x – 2y = 1 est équivalente à

y = .

Les droites D₁ d'équation y = – 2x + 5 et

D₂ d'équation y = sont sécantes,

les coordonnées du point d'intersection sont les solutions du système.

Graphiquement, les solutions sont donc

x ≈ 1,6 et y ≈ 1,9.

3- Méthodes de résolution

Résoudre le système .

Méthode de substitution

1. On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des deux équations
   Ici, la première équation nous donne y = 5 – 2x

2. On remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
   On obtient avec la deuxième équation 3x – 2(5 – 2x) = 1 soit 7x – 10 = 1

3. On résoud l'équation à une inconnue obtenue
   7x – 10 = 1 donc .

4. On obtient l'autre inconnue en utilisant l'expression obtenue au 1)
   y = 5 – 2x = .

5. Le système a donc une unique solution : et .

Méthode d'addition

1. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coeeficients de x soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 3 et la seconde par -2.
   On obtient le système

2. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient y.
   Ici, 7y = 13 d'où .

3. On multiplie les deux équations par des nombres choisis pour que les coefficients de y soient opposés; ici on multiplie la 1ère par 2 et la seconde par 1.
   On obtient le système .

4. On ajoute membre à membre les deux équations et on obtient x.

   Ici, 7x = 11 d'où .

5. Le système a donc une unique solution : et .

geomesp

Géométrie dans l'espace

Le monde dans lequel nous vivons a trois dimensions (largeur, hauteur, profondeur), il ne peut pas être décrit entièrement par la géométrie plane. La géométrie dans l'espace se propose d'étudier les objets à 3 dimensions comme les cubes ou les pyramides.

A - Perspective cavalière

Voici la représentation en perspective cavalière d'un cube ABCDEFGH. Essayons de mettre en évidence les règles utilisées.

Un cube a 6 faces qui sont des carrés.

La face ABCD du cube est donc un carré, pourtant sa représentation en perspective cavalière a la forme d'un parallélogramme qui n'est pas un carré.

L'angle est droit sur le cube mais aigu sur la figure.

Les arêtes [AB] et [CD] ont même longueur sur le cube mais on les a représentées par des segments de longueurs différentes.

Il faut donc distinguer le cube et sa représentation, la réalité et ce qu'on voit sur la figure.

Pour faire correctement une représentation en perspective cavalière il faut respecter un certain nombre de règles.

Des segments parallèles sont représentés par des segments parallèles.

C'est pour cette raison que les faces carrées du cube sont représentées par des parallélogrammes.

Les alignements et les rapports de longueurs entre points alignés doivent être conservés.

Par exemple le milieu d'un segment se trouve aussi au milieu sur la représentation.

Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

Ceci nous permet de distinguer les parties qui se trouvent au premier plan.

Attention

Les longueurs et les angles sont souvent modifiés par les représentations en perspective cavalière. Seules les parties vues de face dans un plan vertical sont représentées en vraie grandeur.

B - Droites et plans dans l'espace

1- Définitions

Une droite de l'espace est définie par deux points distincts.

La droite passant par les points A et B est notée (AB).

Bien qu'elle soit représentée ici par un segment, il ne faut pas oublier qu'une droite est illimitée.

Lorsque plusieurs points se trouvent sur une même droite, on dit qu'ils sont alignés.

Un plan de l'espace est défini par trois points non alignés.

Le plan passant par les points non alignés A, B et C est noté (ABC).

Bien qu'il soit représenté ici par un parallélogramme, il ne faut pas oublier qu'un plan est illimité.

Lorsque des points et des droites se trouvent dans un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires et on peut leur appliquer les théorèmes de la géométrie plane.

Remarque : trois points sont toujours coplanaires.

2- Intersection d'une droite et d'un plan

On peut distinguer trois cas :

La droite et le plan sont sécants; leur intersection est un point.	La droite est strictement parallèle au plan, ils n'ont aucun point en commun.	La droite est incluse dans le plan (elle a au moins deux points communs avec le plan).

Par convention, on dira qu'une droite est parallèle à un plan lorsqu'ils sont d'intersection vide ou lorsque la droite est incluse dans le plan.

3- Intersection de deux droites distinctes

Si deux droites sont coplanaires (elles font partie d'un même plan), nous savons qu'elles sont soit sécantes en un point, soit parallèles. Mais attention, deux droites peuvent aussi être non coplanaires, leur intersection est vide mais elles ne sont pas parallèles.

Droites coplanaires		Droites non coplanaires
Les deux droites sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point commun mais sont dans le même plan.	Les deux droites sont sécantes en un point.	Les deux droites n'ont aucun point commun mais elles ne sont pas parallèles car elles ne sont pas dans le même plan..

4- Intersection de deux plans distincts

Deux plans distincts sont soit strictement parallèles (intersection vide), soit sécants; l'intersection de deux plans sécants est toujours une droite.

Les deux plans sont strictement parallèles : ils n'ont aucun point en commun.	Les deux plans sont sécants : ils se coupent suivant une droite.

Par convention, on dira que deux plans sont parallèles lorsqu'ils d'intersection vide ou lorsqu'ils sont confondus.

C - Parallélisme dans l'espace

1- Droite parallèle à un plan

Pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan.

Hypothèses :

- la droite d est incluse dans le plan P

- les droites d et d' sont parallèles

Conclusion :

La droite d est parallèle au plan P.

2- Plans parallèles

Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites sécantes parallèles à l'autre.

Hypothèses :

- le plan P' contient les droites sécantes d₁ et d₂

- les droites d₁ et d₂ sont parallèles à P

Conclusion :

Le plan P' est parallèle au plan P.

3- Transitivité du parallélisme

Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

De même :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Attention

Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles.

De même, deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.

4- Plan coupant deux plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.

Hypothèses :

- P et P' sont deux plans parallèles.

- Le plan Q coupe P suivant la droite d

et P' suivant la droite d'.

Conclusion :

Les droites d et d' sont parallèles.

5- Théorème du toit

Si deux plans sécants contiennent des droites parallèles, alors leur intersection est parallèle à ces droites. (théorème du toit)

Hypothèses :

P et P' se coupent suivant la droite D;

P contient la droite d

et P' contient la droite d';

d et d' sont parallèles.

Conclusion :

La droite D est parallèle aux droites d et d'.

D - Orthogonalité dans l'espace

1- Droites perpendiculaires et droites orthogonales

On dit que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont sécantes, donc coplanaires.

On dit que deux droites sont orthogonales si l'une d'elles est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre.

Remarque : deux droites perpendiculaires sont orthogonales.

Exemples

Dans le cube ABCDEFGH :

- les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, elles sont sécantes et forment un angle droit

- les droites (AB) et (FG) sont orthogonales, en effet la droite (FG) est parallèle à la droite (BC) qui est perpendiculaire à (AB).

2- Droite perpendiculaire à un plan

On dit qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan lorsqu'elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Propriété fondamentale

Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

Exemple

Dans le cube ABCDEFGH , la droite (AE) est perpendiculaire au plan (EFG), en effet elle est orthogonale à (EF) et à (EH).

Comme (AE) est perpendiculaire au plan (EFG) elle est orthogonale à toutes les droites de (EFG), donc (AE) est orthogonale à (FH) et à (EG).

3- Relations entre parallélisme et orthogonalité

Propriété 1

Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Hypothèses :

- d est perpendiculaire à P

- d' est perpendiculaire à P

Conclusion :

d et d' sont parallèles.

Propriété 2

Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Hypothèses :

- d est perpendiculaire à P

- d est perpendiculaire à P'

Conclusion :

P et P' sont parallèles.

Attention

Contrairement à ce qui se passe dans le plan, deux droites perpendiculaires à une même troisième ne sont pas obligatoirement parallèles.

Ainsi, les droites (AD) et (DH) sont perpendiculaires à (DC), mais elles ne sont pas parallèles.