Variation de l'aire d'un triangle

Dans le plan muni du repère (O,I,J), on donne le point A(1,2).

P est un point de la demi-droite [Ix). Q est l'intersection de la droite (AP) et de l'axe (OJ).

On a ajouté le point M de [OI) et le point N de [OJ) tels que A soit milieu de [MN], ainsi que le point M' projection de M sur (PQ) parallèlement à (OJ).

On s'intéresse à l'aire du triangle OPQ.

Lorsque P se trouve à droite de M, remarquons que l'aire de OMN est égale à l'aire de OMM'Q car les triangles ANQ et AMM' sont symétriques par rapport à A et ont donc des aires égales.

L'aire de OMM'Q étant manifestement inférieure à l'aire de OPQ, on en déduit que l'aire de OPQ est supérieure à l'aire de OMN qui donne donc bien la position où l'aire de OPQ est minimale.

Que se passe-t-il lorsque P se trouve entre I et M ?