Suites et fonctions avec Minilogo

Suites

On considère une suite u_n définie par récurrence, c'est à dire par la donnée de u₀ et d'une fonction f telle que u_n+1=f(u_n) et on se propose d'écrire un script Minilogo permettant d'afficher les p premiers termes de cette suite.

Par exemple, pour afficher les 10 premiers termes de la suite définie par u₀=2 et u_n+1=0,5u_n+3, on pourra procéder de la manière suivante :

• définir et initialiser trois variables p, n et u; p contient le nombre de répétitions, n contiendra l'indice de la suite et u contiendra les valeurs des différents termes. Cela donne la ligne : dans p 10 dans n 0 dans u 2
• répéter p fois l'affichage et le calcul des termes; cela est obtenu avec l'instruction faire p [.........] avec entre crochets les instructions à répéter
• afficher un terme; cela est obtenu avec l'instruction aff("u",n," = ",u); ce qui est entre guillemets est affiché tel quel, ce qui n'est pas entre guillemets est évalué, n et p seront donc remplacés par leurs valeurs; on ajoute l'instruction ret pour effectuer un retour à la ligne et que la valeur suivante s'affiche sur la ligne suivante.
• calculer le terme suivant; n augmente d'une unité grâce à dans n n+1 et u prend sa nouvelle valeur grâce à dans u 0.5*u+3

Cela se traduira finalement par le script :

dans p 10 dans n 0 dans u 2
faire p [
aff("u",n," = ",u) ret
dans n n+1
dans u 0.5*u+3
]

Vous pouvez tester ce script dans la feuille de calcul Minilogo en effectuant un copier-coller.

Fonctions

Pour résoudre une équation du type f(x) = 0 dont on sait qu'elle a une solution dans un intervalle [a;b], on peut procéder par balayage, c'est à dire construire des tableaux de valeurs avec un pas de plus en plus petit pour encadrer la solution.

Exercice :

On considère la fonction f définie par f(x)=x³+x-5. L'équation f(x)=0 a une solution unique entre 1 et 2. Ecrire un programme Minilogo affichant un tableau de valeurs de f, x variant de 1 à 2 avec un pas de 0,1.(tester le programme avec la feuille de calcul Minilogo)

Une solution est disponible ici.

Utiliser ce programme, en le modifiant légèrement, pour trouver un encadrement d'amplitude 0,001 de la solution de l'équation f(x)=0.