Calculs de sommes et de produits

Somme des entiers de 1 à n

On se propose d'écrire un programme calculant la somme des entiers naturels de 1 à n, c'est à dire Sn=1+2+3+...+n.

On utilise une variable k qui prendra les valeurs 1, 2, 3 , ..., n et une variable S qui contiendra contiendra les valeurs successives de la somme selon la valeur de k atteinte. Une boucle tantque permet alors de calculer la somme.

On termine en calculant n(n+1)/2 qui donne directement le résultat.

Voici le programme obtenu :

dans n 10
dans k 1 dans S 0
tantque k<=n [
dans S S+k dans k k+1
]
aff("Somme = ",S) ret
aff("n(n+1)/2 = ",n*(n+1)/2)

Vous pouvez tester ce script dans la feuille de calcul Minilogo en effectuant un copier-coller.

Exercices

• Ecrire un programme qui calcule la somme des cubes des entiers de 1 à n et vérifier que le résultat est le carré de n(n+1)/2, c'est à dire le carré de la somme des entiers de 1 à n (tester le programme avec la feuille de calcul Minilogo)
  Une solution est donnée ici.
• Ecrire un programme qui calcule la somme des inverses des entiers naturels de 1 à n. En enlevant ln(n) au résultat on obtient une suite qui converge vers la constante d'Euler.(tester le programme avec la feuille de calcul Minilogo)
  Une solution est donnée ici.

Produit des entiers de 1 à n

Le produit des entiers de 1 à n est appelé factorielle de n et on le note n!.

Pour le calculer on peut utiliser le même principe que pour les sommes, mais en initialisant le produit à 1 au lieu de 0.

Cela donne :

dans n 10
dans k 1 dans P 1
tantque k<=n [
dans P P*k dans k k+1
]
aff(n,"! = ",P)

Vous pouvez tester ce script dans la feuille de calcul Minilogo en effectuant un copier-coller.

Exercice

• Ecrire un programme qui calcule les termes de la suite définie par U_n=1+1/(1!)+1/(2!)+...+1/(n!). Cette suite converge vers le nombre e dont une valeur approchée est 2,718281828.
  Une solution est donnée ici.