Racine carrée Racine carréeOn part de la remarque suivante :
1 = 1² 1+3 = 4 = 2² 1+3+5 = 9 = 3² 1+3+5+7 = 16 = 4² 1+3+5+7+9 = 25 = 5² etc...
La somme des premiers nombres impairs est toujours un carré. Il est relativement facile d'en donner une démonstration graphique (voir nombre carré sur Wikipédia) ou une démonstration par récurrence.
Ainsi pour calculer la racine carrée d'un entier naturel n, il suffit de retirer successivement les nombres impairs, tant que cela est possible, c'est à dire tant que le résultat de la soustraction est positif. Le nombre de soustractions effectuées donne la partie entière de la racine carrée de n.
Ecrire un programme Minilogo calculant par cette méthode la partie entière de la racine carrée d'un entier naturel n. (tester le programme avec la feuille de calcul Minilogo)
Une solution est disponible ici.
Pour calculer la racine carrée d'un nombre réel positif s, on peut envisager une suite de rectangles de dimensions an et bn et d'aire constamment égale à s. En faisant en sorte que les deux dimensions se rapprochent l'une de l'autre, les rectangles obtenus se rapprocheront du carré d'aire s, dont le côté est justement la racine carrée de s.
Héron d'Alexandrie, au premier siècle de notre ère, a mis en oeuvre cette idée de la façon suivante : il commence par le rectangle de dimensions 1 et s (an=s et bn=1), puis passe au rectangle dont l'une des dimensions est la moyenne des précédentes et l'autre est obtenue pour que l'aire reste égale à s. Cela revient à considérer les suites an et bn définies par an=s, bn=1, an+1=(an+bn)/2 et bn+1=s/an+1.
Ecrire un programme Minilogo calculant par cette méthode la racine carrée d'un réel positif s en calculant les dimensions de 10 rectangles successifs . (tester le programme avec la feuille de calcul Minilogo)
Une solution est disponible ici.
Vous pouvez améliorer ce programme de façon à ne calculer que le nombre de termes nécessaires pour obtenir un précision donnée.