labomath Le théorème de Romera


Enoncé

On considère un triangle ABC. On construit à l'extérieur de ce triangle des triangles ABC', BCA' et CAB' isocèles en C', A' et B' et semblables. (ces trois triangles isocèles ont donc les mêmes angles). On peut alors constater que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

Cette propriété, que je ne connaissais pas, m'a été indiquée par Ramon Romera, l'un des auteurs de Lilimath, c'est pourquoi je l'appelle le théorème de Romera.

J'ai longtemps cherché une démonstration de ce théorème.

J'ai d'abord remarqué qu'il s'agissait en fait d'une généralisation de situations bien connues qu'on rencontre dans les exercices de Terminale : cas où les triangles isocèles sont équilatéraux (on obtient le point de Fermat), cas où les sommets principaux des triangles isocèles sont les centres des carrés construits sur les côtés. Ces cas se traitent bien avec les nombres complexes.

On a un cas particulier encore plus simple en considérant des triangles isocèles dont l'angle à la base mesure 0°. A', B' et C' sont alors les milieux des côtés du triangle et le point de concours de (AA'), (BB') et (CC') est le centre de gravité du triangle.

La démonstration que j'ai fini par trouver est basée sur le théorème de Céva; vous pouvez la lire ici.


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