On se propose de calculer les sommes des puissances des entiers naturels de 1 à n en utilisant des polynômes.
a) Soit P(x) = ax2 + bx + c un polynôme du second degré.
Déterminer les coefficients a, b et c pour que P(x) - P(x-1) = x.
b) On considère alors la suite d'égalités :
P(n) - P(n-1) = n
P(n-1) - P(n-2) = n-1
P(n-2) - P(n-3) = n-2
...
P(1) - P(0) = 1
Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?
En déduire la formule donnant Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n.
a) Soit Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme de degré 3.
Déterminer les coefficients a, b, c et d pour que Q(x) - Q(x-1) = x2.
b) On considère alors la suite d'égalités :
Q(n) - Q(n - 1) = n2
Q(n-1) - Q(n-2) = (n-1)2
Q(n-2) - Q(n-3) = (n-2)2
...
Q(1) - Q(0) = 12
Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?
En déduire la formule donnant Cn = 12 + 22 + 32 + ... + n2.
Retrouver la formule donnant Dn = 13 + 23 + 33 + ... + n3.
Sources :
- Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)