Sommes de puissances

On se propose de calculer les sommes des puissances des entiers naturels de 1 à n en utilisant des polynômes.

1) Somme des entiers de 1 à n

a) Soit P(x) = ax2 + bx + c un polynôme du second degré.

Déterminer les coefficients a, b et c  pour que P(x) - P(x-1) = x.

b) On considère alors la suite d'égalités :

P(n) - P(n-1) = n

P(n-1) - P(n-2) = n-1

P(n-2) - P(n-3) = n-2

...

P(1) - P(0) = 1

Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

2) Somme des carrés des entiers de 1 à n

a) Soit Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme de degré 3.

Déterminer les coefficients a, b, c et d  pour que Q(x) - Q(x-1) = x2.

b) On considère alors la suite d'égalités :

Q(n) - Q(n - 1) = n2

Q(n-1) - Q(n-2) = (n-1)2

Q(n-2) - Q(n-3) = (n-2)2

...

Q(1) - Q(0) = 12

Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant Cn = 12 + 22 + 32 + ... + n2.

3) Somme des cubes des entiers de 1 à n

Retrouver la formule donnant Dn = 13 + 23 + 33 + ... + n3



Sources :

- Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)