Sommes et inégalités

Les fonctions logarithme et exponentielle permettent d'établir certaines inégalités qu'il est difficile d'obtenir autrement. L'idée est d'appliquer plusieurs fois l'une des deux propriétés suivantes :

- pour tout réel x > 0, ln(x) ≤ x - 1

- pour tout réel x, ex ≥ 1 + x

Comparaison de moyennes

On considère les nombres réels strictement positifs a1, a2, ..., an, avec n ≥ 2.

On définit leur moyenne arithmétique m, leur moyenne géométrique g et leur moyenne harmonique h par les relations :

m=\frac{a_1+a_2+...+a_n} n, g=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} et \frac 1 h = \frac 1 n \left(\frac 1 a_1+\frac 1 a_2 + ... + \frac 1 a_n \right).

On se propose de démontrer que h\leq g\leq m.

Le cas n = 2 peut être résolu assez simplement, mais la généralisation n'est pas aisée.

Appliquons la relation ln(x) ≤ x - 1 aux réels \frac {a_1} m, \frac {a_2} m, ..., \frac {a_n} m. On obtient :

\text{ln}\left( \frac{a_1} m \right) \leq  \frac{a_1} m - 1, puis \text{ln}\left( \frac{a_2} m \right) \leq  \frac{a_2} m - 1, ..., \text{ln}\left( \frac{a_n} m \right) \leq  \frac{a_n} m - 1.

En ajoutant membre à membre ces n inégalités on obtient :

\text{ln}\left(\frac{a_1}{m}\right)+\text{ln}\left(\frac{a_2}{m}\right)+...+\text{ln}\left(\frac{a_n}{m}\right) \leq \frac{a_1}{m}-1+\frac{a_2}{m}-1 + ... +\frac{a_n}{m}-1

soit \text{ln}\left(\frac{a_1a_2...a_n}{m^n}\right) \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{m}-n.

Or a1+a2+...+an = nm, on a donc \text{ln}\left(\frac{a_1a_2...a_n}{m^n}\right) \leq 0.

On en déduit que \frac{a_1a_2...a_n}{m^n} \leq 1, d'où a_1a_2...a_n \leq m^n et finalement \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq  m

d'où gm.

Pour montrer que h ≤ g, on applique le résultat précédent aux réels strictements positifs s \frac 1 {a_1} , \frac 1 {a_2}, ..., \frac 1 {a_n}. On obtient immédiatement \frac 1 h \geq \frac 1 g, donc h ≤ g.


Problème

1) a1, a2, ..., an sont des nombres réels dont la somme est égale à 0, c'est à dire tels que

a1+ a2+ ...+ an= 0. Montrer que e^{a_1}+e^{a_2}+e^{a_3}+ ... + e^{a_n} \geq n


2) b1, b2, ..., bn sont des réels positifs. Montrer que \frac {b_1} {b_2}+\frac {b_2} {b_3}+\frac {b_3} {b_4}+ ... +\frac {b_{n-1}}{b_n} + \frac {b_n} {b_1} \geq n


3) c1, c2, ..., cn sont des réels positifs. Montrer que c_1+c_2+c_3+ ... +c_n +\frac {1} {c_1 c_2 c_3 ... c_n} \geq n+1.