Quelle est la somme des entiers de 1 à n ? Quelle est la somme de leurs carrés ou celle de leurs cubes ? Il existe des formules, classiques, permettant d'effectuer rapidement ces calculs et on peut les retrouver à l'aide de petits dessins à interpréter correctement. Voici quelques exemples de ces dessins suivis d'un problème à résoudre.
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ou
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On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :
1 |
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1 |
3 |
5 |
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8 |
7 |
9 |
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27 |
13 |
15 |
17 |
19 |
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64 |
21 |
23 |
25 |
27 |
29 |
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125 |
On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.
Enoncer cette propriété et la démontrer.
Sources et compléments :
1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur Google-Livres.
2 - Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)
3 - Olympiades mathématiques belges 1976