Sommes d'entiers

Quelle est la somme des entiers de 1 à n ? Quelle est la somme de leurs carrés ou celle de leurs cubes ? Il existe des formules, classiques, permettant d'effectuer rapidement ces calculs et on peut les retrouver à l'aide de petits dessins à interpréter correctement. Voici quelques exemples de ces dessins suivis d'un problème à résoudre.


Somme des entiers naturels de 1 à n

1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}  ou \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}

Preuves sans mots

ou


Somme des premiers nombres impairs

1+3+5+...+(2n-1) = n^2 ou \sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} =n^2

Preuve sans mots


Somme des carrés des entiers naturels de 1 à n

1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ou \sum_{k=1}^{n}{k^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Preuves sans mots

ou


Somme des cubes des entiers naturels de 1 à n

1^3+2^3+...+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 ou \sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Preuves sans mots

ou



Problème

On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :

 1





1
 3
 5




8
 7
 9
 11



27
 13
 15
 17
 19


64
 21
 23
 25
 27
 29

125

On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.

Enoncer cette propriété et la démontrer.



Sources et compléments :

1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur Google-Livres.

2 - Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)

3 - Olympiades mathématiques belges 1976