Certains exercices de mathématiques nous invitent à explorer des objets totalement nouveaux, qui ne relèvent d'aucun chapitre particulier du traditionnel cours de maths. Pas de théorème caché ou de formule magique, il faut tout retrouver ou reconstruire.
Voici, par exemple, une fonction proposée aux Olympiades mathématiques belges en 2007.
On considère la fonction f de ℕ dans ℕ qui vérifie les deux propriétés suivantes :
pour tout entier naturel n, f (n+1)>f (n) et f [f (n)]=3n.
L'exploration est ouverte.
a) On peut chercher les premières valeurs de f (n), essayer de trouver des propriétés remarquables de la fonction f .
b) L'épreuve de l'Olympiade mathématique belge de 2007 demandait le calcul de f (2007). On pourra se donner comme défi le calcul de l'image de l'année en cours :
f (2009) en 2009, puis f (2010) en 2010, etc...
Enfin, il sera intéressant de trouver un algorithme de calcul de f (n) et d'écrire un programme permettant de le faire.