Résoudre un problème de mathématiques ressemble parfois au fait de mener une enquête policière. Il est alors intéressant de suivre l'avis d'un spécialiste des enquêtes policières, sir Arthur Conan Doyle, créateur du célèbre détective Sherlock Holmes : "Lorsque vous avez éliminé l'impossible, ce qui reste, si improbable soit-il, est nécessairement la vérité."
Si a et b sont des nombres, on ne peut envisager que 3 possibilités : soit a=b, soit a<b, soit a>b.
Considérons une fonction f qui est strictement croissante et pour laquelle f (a)=f (b).
Que peut-on dire de a et b?
Comme f est strictement croissante :
- si on avait a<b, on aurait f (a)<f (b) ce qui n'est pas possible car f (a)=f(b).
- si on avait a>b, on aurait f (a)>f (b) ce qui n'est pas possible car f (a)=f (b).
Comme a<b et a>b ne sont pas possibles, il ne reste qu'une solution : a=b.
Après avoir éliminé l'impossible, il ne reste que le possible !
Certains jeux logiques (les logigrammes) reposent sur la méthode préconisée par sir Arthur Conan Doyle. En voici un exemple :
Cinq enfants, André, Louis, Sophie, Diane et Christophe ont chacun un fruit préféré : banane, raisin, fraise, poire, abricot.
1) André et l'enfant qui aime le fruit rouge sont partis en pique-nique avec Diane et l'enfant qui aime les raisins.
2) Louis, Sophie et l'enfant qui aime le fruit à noyau vont dans la même classe à côté de celle d'André et de l'enfant qui aime la banane.
3) Louis et l'enfant qui aime les fruits en grappe vont au marché avec Christophe qui ne mange que le fruit qui pousse en régime.
Quel est le fruit préféré de chacun des cinq enfants ?
On peut essayer de résoudre l'énigme ici...
La première phrase nous montre que le fruit préféré d'André n'est ni la fraise, ni le raisin.
La deuxième phrase nous montre que le fruit préféré d'André n'est ni l'abricot, ni la banane.
La seule possibilité restante est que le fruit préféré d'André est la poire.
...
Une propriété mathématique est soit vraie, soit fausse. Si vous démontrez qu'il est impossible qu'elle soit fausse, alors il ne reste qu'une solution : elle est vraie ! C'est le principe des démonstrations par l'absurde.
(voir Wikipedia...)
On considère dans cet exercice tous les tableaux carrés à 9 cases dans lesquels sont placés dans un certain ordre tous les entiers de 1 à 9. Par exemple :
| 1 | 8 | 7 |
| 9 | 2 | 4 |
| 6 | 5 | 3 |
A un tel tableau on associe les produits des éléments de ses lignes (56, 72, 90 dans l'exemple ci-dessus) et les produits des éléments de ses colonnes (54, 80, 84 dans l'exemple ci-dessus).
1. a) Etant donné un tel tableau, montrer qu'il a au moins une ligne dont le produit des éléments est supérieur ou égal à 72.
b) Donner un tableau de ce type dont les trois lignes ont un produit inférieur ou égal à 72.
2. Etant donné un tableau de ce type, montrer qu'il a au moins une ligne ou une colonne dont le produit des éléments est supérieur ou égal à 90.
Source : concours général 2007