Variations des fonctions

L'étude des variations d'une fonction consiste à déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.

Sens de variations d'une fonction

Fonctions croissantes

Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres.

Quels que soient les réels a et b de I, si a<b alors f(a)<f(b).

Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f «monte» sur l'intervalle I.

Exemple

La fonction f est croissante sur I.

La courbe monte.

Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent aussi : f conserve l'ordre des nombres.

Fonctions décroissantes

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres.

Quels que soient les réels a et b de I, si a<b alors f(a)>f(b).

Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f «descend» sur l'intervalle I.

Exemple

La fonction f est décroissante sur I.

La courbe descend.

Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) diminuent : f inverse l'ordre des nombres.

Tableau de variations

Soit f une fonction définie sur un intervalle D.

Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur D on détermine les intervalles I contenus dans D sur lesquels f est monotone, c'est à dire soit croissante, soit décroissante.

On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de f.

Exemple

Considérons la fonction f définie sur [-2 ;3] dont la courbe représentative est dessinée.

On observe que :

f est décroissante sur [-2; -1]

f est croissante sur [1; 2]

f est décroissante sur [2; 3]

D'autre part f(-2)=2, f(-1)=-1, f(2)=3 et f(3)=2.

Tout ceci peut être résumé dans le tableau de variations suivant :

x f(x) -2 -1 3 2 2 3 2 -1

Fonctions et équations

Considérons la fonction f définie sur [-2; 3] dont la courbe représentative et le tableau de variations sont donnés ci-dessous.

On se propose d'étudier l'équation f(x)=1.

Courbe	Tableau de variations de f
	x f(x) -2 -1 3 2 2 3 2 -1

Le tableau de variations de f nous montre que 3 intervalles doivent être considérés.

Sur [-2; -1], la fonction f est décroissante de 2 à -1, elle prend une seule fois toutes les valeurs de l'intervalle [-1; 2]; comme 1 est situé dans cet intervalle, on aura une solution x1 de l'équation entre -2 et -1.

Sur [-1; 2], la fonction f est croissante de -1 à 3, elle prend une seule fois toutes les valeurs de l'intervalle [-1; 3]; comme 1 est situé dans cet intervalle, on aura une solution x2 de l'équation entre -1 et 2.

Sur [2; 3], la fonction f est décroissante de 3 à 2, elle prend une seule fois toutes les valeurs de l'intervalle [2; 3]; mais 1 n'est pas situé dans cet intervalle, il n'y a donc pas de solution de l'équation entre 2 et 3.

Conclusion

L'équation f(x)=1 a deux solutions; une solution x1 entre -2 et -1 et une solution x2 entre -1 et 2.

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Variations des fonctions

KOSTRZEWA Bruno

2001-11-04T09:12:00